Odpowiedź:
Oblicz n dla którego iloczyn an * bn jest największy.
Iloczyn jest największy dla n=1011.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyznaczam [tex]a_n[/tex]
[tex]\begin{cases}a_1=2024\\a_3=2022 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}a_1=2024\ \ \ |\cdot (-1)\\a_1+2r=2022 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}-a_1=-2024\\a_1+2r=2022 \end{cases}[/tex]
+______
[tex]2r=-2\ \ \ |:2[/tex]
[tex]r=-1[/tex]
[tex]a_n=a_1+(n-1)r=2024+(n-1)\cdot(-1)=2024-n+1=-n+2025[/tex]
Wyznaczam [tex]b_n[/tex]
[tex]\begin{cases}b_2=10\\ b_{12}=30 \end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases}b_1+r=10\ \ \ ||cdot(-1)\\ b_1+11r=30 \end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases}-b_1-r=-10\\ b_1+11r=30 \end{cases} [/tex]
+_______
[tex]10r=20\ \ \ |:10[/tex]
[tex]r=2[/tex]
[tex]\begin{cases}b_1+r=10\\r=2\end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases}b_1+2=10\\r=2\end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases}b_1=10-2\\r=2\end{cases} [/tex]
[tex]\begin{cases}b_1=8\\r=2\end{cases} [/tex]
[tex]b_n=b_1+(n-1)r=8+(n-1)\cdot 2=8+2n-2=2n+6[/tex]
Obliczam [tex]a_n\cdot b_n[/tex]
[tex](-n+2025)\cdot(2n+6)=-2n^2-6n+4050n+12150=-2n^2+4044n+12150[/tex]
Obliczam [tex]n[/tex]
[tex]-2n^2-4044n+12150[/tex] - to parabola z ramionami skierowanymi do dołu.
Największa wartość będzie przyjmowała dla odciętej wierzchołka paraboli.
[tex]p=-\frac{b}{2a}[/tex]
[tex]n=p=-\frac{4044}{2\cdot (-2)}[/tex]
[tex]n=-\frac{4044}{-4}[/tex]
[tex]n=1011[/tex]
