Odpowiedź :
Rozwiązanie:
[tex]\bold{a)}[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}[/tex]
W przypadku granic takiego typu zwykle podaje się dwie metody.
Pierwsza:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^{n}+3^{n}+4^{n}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^{n}\Bigg(\Big(\frac{1}{2}\Big)^{n}+\Big(\frac{3}{4}\Big)^{n}+1\Bigg)}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^{n}} =4[/tex]
Druga, w której wykorzystamy twierdzenie o trzech ciągach:
Niech:
[tex]c_{n}=\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n}[/tex]
Znajdujemy ciąg o wartościach mniejszych:
[tex]a_{n}=\sqrt[n]{4^n}[/tex]
Pora na ciąg o wartościach większych:
[tex]$b_{n}=\sqrt[n]{4^{n}+4^{n}+4^{n}} =\sqrt[n]{3 \cdot 4^{n}}[/tex]
Na podstawie powyższego mamy nierówność:
[tex]a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n} \iff \sqrt[n]{2^n} \leq \sqrt[n]{2^{n}+3^n+4^n} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 4^n}[/tex]
Ponadto zauważmy, że:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n} =4[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3 \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} \cdot \sqrt[n]{4^n} =1 \cdot 4 = 4[/tex]
Na mocy tw. o trzech ciągach mamy:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{2^n+3^n+4^n} =4[/tex]
[tex]\bold{b)}[/tex]
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{7+\sin n}[/tex]
Niech [tex]c_{n}=\sqrt[n]{7+\sin n}[/tex].
W tym przypadku łatwiej będzie znaleźć granicę przy użyciu wspomnianego twierdzenia. Z trygonometrii powinno być jasne, że dla dowolnego [tex]n[/tex] zachodzi nierówność (po prostu zbiór wartości funkcji sinus):
[tex]$-1\leq \sin n\leq 1[/tex]
Na podstawie tej nierówności łatwo znajdziemy potrzebne nam ciągi:
[tex]a_{n}=\sqrt[n]{6}[/tex]
[tex]b_{n}=\sqrt[n]{8}[/tex]
Mamy:
[tex]$a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}[/tex]
Ponadto:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n=1[/tex]
Na mocy tw. o trzech ciągach:
[tex]$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{7+\sin n}=1[/tex]
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
7
a)
lim (n → ∞) √(2^n +3^n + 4^n)
(gdzie √ - zawsze (i niżej) oznacza pierwiastek stopnia n)
Zwróćmy uwagę ba oczywistą nierówność
4^n < 2^n + 3^n + 4^n < 4^n + 4^n + 4^n
z której wynika, że
√4^n < √(2^n + 3^n + 4^n) < √3*4^n czyli 4 < √(2^n +3^n + 4^n) < 4√3
to z tw. o trzech ciągach, opierając się na granicy lim (n → ∞) √a = 1
mamy lim 4*1 = 4 to ostatecznie otrzymujemy, że
√(2^n +3^n + 4^n) → 4 gdy n → ∞