Odpowiedź :
PODPUNKT A
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2}[/tex]
D = x∈(0,16)
Dane:
[tex]x+y=16[/tex]
Szukane:
[tex]P(x)=?\\D=?[/tex]
Rozwiązanie:
Pierwszym krokiem będzie wyznaczenie y. Takie działanie umożliwi nam wyznaczenie pola trójkąta jako funkcji zmiennej x oraz dziedziny tej funkcji.
[tex]x+y=16\\y=16-x[/tex]
Następnym etapem będzie wyznaczenie pola trójkąta jako funkcję P(x) poprzez podstawienie y do wzoru na pole trójkąta.
[tex]P(x)=\frac{x*y}{2} \\P(x)=\frac{x*(16-x)}{2}\\P(x)=\frac{16x-x^2}{2}\\P(x)=8x-\frac{x^2}{2}[/tex]
Ostatnią rzeczą jaką musimy wykonać w tym podpunkcie jest wyznaczenie dziedziny.
[tex]\left \{ {{x > 0} \atop {y > 0}} \right. \\\left \{ {{x > 0} \atop {16-x > 0}} \right.\\\left \{ {{x > 0} \atop {x < 16}} \right.[/tex]
x∈(0,16)
PODPUNKT B
[tex]P(10)=30[/tex]
Dane:
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2}\\x=10[/tex]
Szukane:
[tex]P(10)=?[/tex]
Rozwiązanie:
Aby obliczyć pole trójkąta, w którym bok x=10, musimy do otrzymanej w podpunkcie a funkcji za x podstawić 10.
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2} \\P(10)=8*10-\frac{10^2}{2} \\P(10)=80-50\\P(10)=30[/tex]
PODPUNKT C
x = 14 lub x =
Dane:
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2} \\P(x)=14[/tex]
Szukane:
x dla którego P(x)=14
Rozwiązanie:
Aby wyliczyć x musimy przyrównać funkcję z podpunktu a do 14.
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2} \\P(x)=14\\8x-\frac{x^2}{2} =14/*2\\16x-x^2=28\\-x^2+16x-28=0[/tex]
W tym miejscu będziemy musieli skorzystać z delty.
Δ=16²-4·(-1)·(-28)
Δ=256-112
Δ=144
√Δ=12
[tex]x_1=\frac{-16-12}{-2} =14\\x_2=\frac{-16+12}{-2}=2[/tex]
PODPUNKT D
[tex]P'(x)=0\\8-x=0\\x=8[/tex]
P(x) rośnie dla x∈(-∞,8)
P(x) maleje dla x∈(8,∞)
Zatem funkcja pola osiąga największą wartość dla x=8.
Dane:
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2}[/tex]
Szukane:
wykazanie, że funkcja pola osiąga największą wartość dla x=8
Rozwiązanie:
Pierwszą rzeczą, którą musimy zrobić w tym punkcie jest obliczenie pochodnej funkcji.
[tex]P(x)=8x-\frac{x^2}{2} \\P'(x)=8-x[/tex]
Po obliczeniu pochodnej, musimy ją przyrównać do 0.
[tex]P'(x)=0\\8-x=0\\x=8[/tex]
Ostatnim krokiem jest wyznaczenie monotoniczności funkcji.
P(x) rośnie dla x∈(-∞,8)
P(x) maleje dla x∈(8,∞)
Zatem funkcja pola osiąga największą wartość dla x=8.