Rozwiązanie:
[tex]$f(x)=\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x\neq 1 \wedge x\geq 0[/tex]
Granice:
[tex]$ \lim_{x \to 1 ^{-}} f(x)= \lim_{x \to 1 ^{-}} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} =\Big[\frac{1}{0^{-}} \Big]=-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 1 ^{+}} f(x)= \lim_{x \to 1 ^{+}} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} =\Big[\frac{1}{0^{+}} \Big]=\infty[/tex]
Zatem prosta [tex]x=1[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji [tex]f[/tex].
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x) \ -[/tex] nie istnieje
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} = \lim_{x \to \infty}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}\Big(1-\frac{1}{\sqrt{x}} \Big)} = \lim_{x \to \infty}\frac{x}{1-\frac{1}{\sqrt{x}}} =\infty[/tex]
Istnienie asymptoty ukośnej:
[tex]$a= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} =1[/tex]
[tex]$b= \lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)= \lim_{x \to \infty}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} -x= \lim_{x \to \infty} \frac{x\sqrt{x}-x(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1} =[/tex]
[tex]$= \lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x}-1} =\infty[/tex]
Brak asymptot poziomych i ukośnych.
