Zadanie 1
[tex](m+1)x^2-4mx+m+1=0[/tex]
Po pierwsze -- funkcja powinna być kwadratowa:
[tex]m+1\neq 0\\\\m\neq -1[/tex]
Musimy mieć 2 rozwiązania:
[tex]\Delta >0\\\\\Delta=(-4m)^2-4\cdot(m+1)\cdot(m+1)=16m^2-4(m^2+2m+1)=\\\\=16m^2-4m^2-8m-4=12m^2-8m-4\\\\12m^2-8m-4>0\\\\3m^2-2m-1>0\\\\\Delta_r=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-1)=4+12=16\\\\\sqrt{\Delta_r}=4\\\\m_1=\dfrac{2-4}{6}=-\dfrac{1}{3}\\\\m_2=\dfrac{2+4}{6}=1\\\\m\in\Big(-\infty,-\dfrac{1}{3}\Big)\cup\Big(1,+\infty\Big)[/tex]
Rozwiązania mają różne znaki, gdy ich iloczyn jest liczbą ujemną:
[tex]x_1 x_2<0\\\\\dfrac{m+1}{m+1}<0\\\\1<0[/tex]
Nierówność jest sprzeczna. Stąd wniosek, że równanie to nie może mieć rozwiązań różnych znaków. Nie istnieją wartości parametru m spełniające warunki zadania.
Zadanie 2
[tex](k-1)x^2-2kx-k-1=0[/tex]
Równanie powinno być kwadratowe:
[tex]k-1\neq 0\\\\k\neq 1[/tex]
Równanie ma 2 rozwiązania, gdy:
[tex]\Delta >0\\\\\Delta=(-2k)^2-4\cdot(k-1)\cdot(-k-1)=4k^2+4\cdot(k-1)(k+1)=\\\\=4k^2+4\cdot(k^2-1)=4k^2+4k^2-4=8k^2-4\\\\8k^2-4>0\\\\k^2-\dfrac{1}{2}>0\\\\\Big(k+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\Big(k-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)>0\\\\k\in\Big(-\infty,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\cup\Big(\dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty\Big)[/tex]
Mamy 2 rozwiązania dodatnie, gdy ich suma oraz iloczyn są dodatnie:
[tex]x_1+x_2>0\\\\\dfrac{2k}{k-1}>0\\\\2k(k-1)>0\\\\k\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)[/tex]
Oraz:
[tex]x_1 x_2>0\\\\\dfrac{-k-1}{k-1}>0\\\\\dfrac{k+1}{k-1}<0\\\\(k+1)(k-1)<0\\\\k\in(-1,1)[/tex]
Bierzemy część wspólną wszystkich czterech warunków:
[tex]\boxed{k\in\Big(-1,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)}[/tex]
Zadanie 3
[tex]f(x)=(3a-4)x^2-(2a+1)x+2a+1[/tex]
Aby funkcja miała wartość największą, ramiona paraboli powinny być skierowane w dół:
[tex]3a-4<0\\\\a<\dfrac{4}{3}\\\\a\in\Big(-\infty,\dfrac{4}{3}\Big)[/tex]
Skorzystamy ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka:
[tex]q=\dfrac{-\Delta}{4a_w}[/tex]
Mamy:
[tex]\Delta=(-(2a+1))^2-4\cdot(3a-4)\cdot(2a+1)=\\\\=4a^2+4a+1-4\cdot(6a^2-5a-4)=\\\\=4a^2+4a+1-24a^2+20a+16=\\\\=-20a^2+24a+17[/tex]
Stąd:
[tex]\dfrac{20a^2-24a-17}{4\cdot(3a-4)}<0\\\\(3a-4)(20a^2-24a-17)<0\\\\\Delta_r=(-24)^2-4\cdot20\cdot(-17)=576+1360=1936\\\\\sqrt{\Delta_r}=44\\\\a_1=\dfrac{24-44}{40}=-\dfrac{1}{2}\\\\a_2=\dfrac{24+44}{40}=\dfrac{17}{10}\\\\a\in\Big(-\infty,-\dfrac{1}{2}\Big)\cup\Big(\dfrac{4}{3},\dfrac{17}{10}\Big)[/tex]
Bierzemy część wspólną:
[tex]\boxed{a\in\Big(-\infty,-\dfrac{1}{2}\Big)}[/tex]
