Cześć!
Graniastosłup prawidłowy n-kątny [tex](n\geq 3)[/tex] ma w podstawie n-kąt foremny, czyli figurę, która ma [tex]n[/tex] jednakowych boków. Co więcej, skoro jest to graniastosłup, to ma dwie takie same podstawy, zatem w takim graniastosłupie suma długości krawędzi podstaw to na pewno [tex]2 \cdot n \cdot x[/tex] , gdzie
Szukamy średniej arytmetycznej długości wszystkich krawędzi. Graniastosłup prawidłowy n-kątny ma dokładnie [tex]3n[/tex] krawędzi. W naszym przypadku te krawędzie długościami dzielimy na trzy grupy:
- Krawędzie podstawy dolnej: jak pisałem wcześniej, ich łączna długość to [tex]n \cdot x[/tex]
- Krawędzie ścian bocznych - pomijamy krawędzie o długości [tex]nx[/tex], ponieważ zawierają się one w podstawach. Zatem rozpatrywane przez nas długości to [tex]n \cdot y[/tex]
- Krawędzie podstawy górnej: jak pisałem wcześniej, ich łączna długość to [tex]n \cdot x[/tex]
Zatem średnia arytmetyczna długości wszystkich krawędzi wyraża się wzorem [tex]\frac{2nx + ny}{3n}[/tex]. My wiemy, że ta średnia arytmetyczna jest równa długości krawędzi podstawy, czyli [tex]x[/tex], zatem:
[tex]\frac{2nx+ny}{3n} = x\\\\\frac{\not n(2x+y)}{3\not n} = x\\\\\frac{2x+y}{3} = x\\\\2x+y=3x \ |-2x\\\\y=x[/tex]
Pamiętamy, że te dwie literki występowały przy oznaczeniach ściany bocznej, ponieważ powiedzieliśmy, że ściana boczna jest prostokątem o wymiarach [tex]x[/tex] na [tex]y[/tex]. Skoro [tex]x=y[/tex], to ściana boczna staje się kwadratem, co kończy dowód.
Pozdrawiam!
