Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Zauważmy, że trójkąt [tex]CAE[/tex] jest równoramienny, gdyż:
[tex]\angle CAD = \angle CED=90[/tex]°[tex]-\alpha[/tex].
Wysokość trójkąta [tex]ABC[/tex] jest jednocześnie wysokością trójkąta równoramiennego [tex]CAE[/tex], zatem musi dzielić odcinek [tex]AE[/tex] na dwie równe części. Stąd:
[tex]|AD|=|DE|=\frac{x}{2}[/tex]
Z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym [tex]CDE[/tex] otrzymamy:
[tex]sin\alpha =\frac{x}{2y} \Rightarrow y=\frac{x}{2sin\alpha }[/tex]
Ponadto z twierdzenia sinusów w trójkącie [tex]CEB[/tex] otrzymamy ([tex]\angle ABC=90[/tex]°[tex]-2\alpha[/tex]):
[tex]\frac{x}{sin\alpha }=\frac{y}{sin(90-2\alpha )} \\\frac{x}{sin\alpha }=\frac{y}{cos2\alpha } \\y=\frac{xcos2\alpha }{sin\alpha }[/tex]
Przyrównujemy wyznaczone wielkości:
[tex]\frac{xcos2\alpha }{sin\alpha }=\frac{x}{2sin\alpha } \\\frac{cos2\alpha }{sin\alpha } =\frac{1}{2sin\alpha }\\cos2\alpha =\frac{1}{2} \iff 2\alpha =60 \Rightarrow \alpha =30[/tex]
Zatem kąty tego trójkąta wynoszą:
[tex]\angle ACB=3\alpha =90\\\angle ABC=90-2\alpha =30\\\angle BAC=90-\alpha =60[/tex]
co kończy dowód.
