Na początek sprawdźmy co dzieje się w przypadku liniowym, czyli gdy [tex]p=0[/tex].
Mamy wtedy:
[tex]0x^2+0x+0-3>0 \\ \\ -3>0[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli dla [tex]p=0[/tex] ta równość prawdziwa nie jest.
W kolejny kroku rozważamy funkcję kwadratową.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nierówność z treści zadania będzie prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, wtedy gdy parabola w całości będzie leżeć nad osią [tex]X[/tex] (jak na rys. 1).
(*)Takie położenie uzyskamy tylko wtedy, gdy jednocześnie:
- Wierzchołek będzie ponad osią [tex]X[/tex], czyli [tex]q>0[/tex].
- Ramiona paraboli będą skierowane w górę, czyli [tex]a>0[/tex], a w naszym przypadku [tex]p>0[/tex]
Sprawdźmy kiedy będą spełnione oba te punkty jednocześnie.
[tex]q>0, \ \ \ \ q=\frac{-\Delta}{4a} \\ \\ \Delta=p^2-4p(p-3)=p^2-4p^2+12p=-3p^2+12p \\ \\ q=\frac{-(-3p^2+12p)}{4p}=\frac{3p^2-12p}{4p} \\ \\ \frac{3p^2-12p}{4p}>0 \ \ \ |\cdot 4p^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ zal. \ \ p\neq 0\\ \\ \frac{3p^2-12p}{4p} \cdot 4p^2>0 \\ \\ p(3p^2-12p)>0 \\ \\ 3p^2(p-4)>0 \\ \\ 3p^2=0 \ \ \vee \ \ p-4=0 \\ \\ p=0 \ \ \vee \ \ p=4[/tex]
Rysujemy wykres uproszczony (patrz rys. 2) i odczytujemy rozwiązanie tej nierówności, czyli [tex]p\in(-\infty,0)\cup(4,+\infty)[/tex].
Wracamy do naszych dwóch warunków (*). Chcemy aby oba jednocześnie były spełnione, zatem z powyższego rozwiązania wykluczamy wszystkie [tex]p<0[/tex].
Podsumowując dana nierówność będzie spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste dla [tex]p\in(4,+\infty)[/tex].
