👤
Rozwiązane

Zad. 12 str. 105 Matematyka z plusem 8
Punkty A = (40, -10), B = (-50, 0) i C = (-20,50) to trzy kolejne wierzchołki równoległoboku ABCD. Znajdź współrzędne środka przekątnych oraz czwartego wierzchołka tego równoległoboku. PLS na dzisiaj. Daję 45 punktów.

Odpowiedź :

UNICORN05ON

S = (10, 20) ;  D = (70, 40)

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy

Czyli punkt ich przecięcia jest jednocześnie:

  • środkiem przekątnej AC
  • i środkiem przekątnej BD

Współrzędne środka odcinka liczymy jak średnie arytmetyczne odpowiednich współrzędnych końców tego odcinka:

          [tex]\large\text{$x_S=\dfrac{x_A+x_B}2\quad;\qquad y_S=\dfrac{y_A+y_B}2$}[/tex]

gdzie:

  • [tex]A=(x_A\,,\ y_A)[/tex]  i  [tex]B=(x_B\,,\ y_B)[/tex]  to końce odcinka
  • [tex]S=(x_S\,,\ y_S)[/tex]  to środek odcinka

Mamy dane:

                   [tex]A=(40\,,\,-10)\quad\implies\quad x_A=40\,,\ y_A=-10\\ C=({-}20\,,\ 50) \quad \implies \quad x_C=-20\,,\ y_C=50[/tex]

Czyli współrzędne środka przekątnej AC (i BD):

        [tex]x_S=\dfrac{x_A+x_C}2\qquad;\qquad y_S=\dfrac{y_A+y_C}2\\\\ x_S=\dfrac{40-20}2\qquad\,\ ;\qquad y_S=\dfrac{-10+50}2\\\\ x_S=\dfrac{20}2\qquad\ \,\ \qquad;\qquad y_S=\dfrac{40}2\\\\ x_S=10\qquad\quad\qquad;\qquad y_S=20\\\\{\qquad\quad} \large\boxed{S=(10\,,\,20)}[/tex]

Mając dane:

                   [tex]B=(-50\,,\,0)\quad\implies\quad x_B=-50\,,\ y_B=0\\ S=(10\,,\,20) \quad\ \implies \quad x_S=10\,,\ y_S=20[/tex]

Możemy obliczyć współrzędne wierzchołka D:

       [tex]x_S=\dfrac{x_B+x_D}2\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad y_S=\dfrac{y_B+y_D}2 \\\\ 10=\dfrac{-50+x_D}2\qquad|\cdot2\qquad\qquad \qquad 20=\dfrac{0+y_D}2 \qquad|\cdot2 \\\\ 20=-50+x_D\qquad\qquad \qquad\qquad\qquad 40=0+y_D \\\\ x_D=70\qquad\qquad\qquad\qquad \quad \qquad\qquad y_D=40 \\\\{}\qquad\qquad\qquad\quad \large\boxed{D=(70\,,\,40)}[/tex]

Odp.:

Środek przekątnych ma współrzędne:  S = (10, 20)

Czwarty wierzchołek ma współrzędne: D = (70, 40)

On Studier: Inne Pytanie