W zależności od paramteru m, układ rownań ma:
[tex]\huge\boxed{O: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]
gdzie:
Odległość punktu P=(x₀, y₀) od prostej k danej w postaci ogólnej Ax+By+C=0 wyznacza się ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{d_{P, k}=\dfrac{|A\cdot x_0+B\cdot y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]
Okrąg i prosta mają:
[tex]\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+2x+4y=0\\y=-2x+m\end{array}\right\:[/tex]
"Zwijamy" pierwsze równanie z układu współrzędnych do postaci kanonicznej równania okręgu aby poznać współrzędne środka tego okręgu oraz długość promienia.
[tex]x^2+y^2+2x+4y=0\\x^2+2x+1+y^2+4y+4-5=0 |+5\\(x+1)^2+(y+2)^2=5\\r^2=5\\\boxed{r=\sqrt5, S=(-1, -2)}[/tex]
Przekształcamy drugie równanie z układu współrzędnych do postaci ogólnej.
[tex]y=-2x+m \to \underline{2x+y-m=0}[/tex]
Wyznaczamy wzór na odległość punktu S od prostej.
[tex]d=\dfrac{|2\cdot(-1)+1\cdot(-2)-m|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\dfrac{|-2-2-m|}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{|-4-m|}{\sqrt5}[/tex]
Korzystając z zależności między długością promienia okręgu a odległością środka okręgu od prostej, wyznaczamy dla jakiej wartości parametru m, układ równań ma 2, 1 lub 0 rozwiazań.
Ten układ zawsze będzie miał dwa rozwiązania, gdyż mamy tu równania stopnia 2-go. Może się jednak zdarzyć, że te dwa rozwiązania będą takie same (podwójne rozwiązanie), lub że nie będą one rzeczywiste. W treści pytania nie ma jednak ograniczenia, że muszą takie właśnie być.
Z drugiego równania podstawiam do pierwszego:
[tex]y=-2x+m[/tex]
otrzymuję wtedy:
[tex]x^2+(-2x+m)^2+2x+4(-2x+m)=0\\x^2+4x^2-4mx+m^2+2x-8x+4m=0\\5x^2-x(6+4m)+m^2+4m=0[/tex]
[tex]\Delta=(6+4m)^2-20(m^2+4m)=36+48m+16m^2-20m^2-80m\\\Delta=-4m^2-32m+36\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{-m^2-8m+9}\\x_{1}=\frac{6+4m-2\sqrt{-m^2-8m+9}}{10}=\frac{3+2m-\sqrt{-m^2-8m+9}}{5}\\x_2=\frac{3+2m+\sqrt{-m^2-8m+9}}{5}\\y_1=\frac{-6-4m+2\sqrt{-m^2-8m+9}+5m}{5}=\frac{-6+m+2\sqrt{-m^2-8m+9}}{5}\\y_2=\frac{-6+m-2\sqrt{-m^2+8m+9}}{5}[/tex]
Rozwiązanie te będę takie same, czyli zredukują się do jednego rozwiązania, gdy delta będzie równa zeru:
[tex]-m^2-8m+9=0\\\Delta_m=64+36=100\\m_1=\frac{8-10}{-2}=1\\m_2=\frac{8+10}{-2}=-9[/tex]
Zatem dla m=1 oraz m=-9 mamy jedno rozwiązanie
dla -9<m<1 mamy dwa różne rozwiązania rzeczywiste
dla pozostałych m mamy dwa rozwiązania zespolone
Jeżeli, z jakichś przyczyn interesują nas tylko rozwiązania rzeczywiste, bo np. tylko takie mają sens fizyczne, wtedy zamiast rozwiązywać to koszmarne równania, może postąpić sprytnie.
Zauważmy, że pierwsze równania można zapisać w postaci:
[tex]x^2+2x+1-1+y^2+4x+4-4=0\\(x+1)^2+(y+2)^2=5[/tex]
Jest to równania okręgu o środku w punkcie O=(-1;-2) oraz promieniu r=√5
Szukamy zatem punktów przecięcia okręgu z prostą o równaniu y=-2x+m
Jeżeli odległość tej prostej od punktu O będzie większa niż promień - brak rozwiązań rzeczywistych, równa promieniowi - jedno rozwiązanie (prosta jest styczne do okręgu) i w sytuacji, gdy jest mniejsza od promienia - mamy dwa rozwiązania:
Odległość punktu P=(a,b) od prostej o równaniu ogólnym Ax+By+C=0
[tex]d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
w naszym wypadku (wezmę kwadrat odległości:
[tex]d^2=\frac{(2\cdot(-1)+1\cdot(-2)-m)^2}{4+1}=\frac{(-4-m)^2}{5}\\d^2=5\\(-4-m)^2=25\\4+m=5\ \vee\ 4+m=-5\\m=1\ \vee\ m=-9[/tex]
wtedy mamy jedno rozwiązanie
[tex]d^2 < 5\\(4+m)^2 < 25\\-5 < 4+m < 5\\-9 < m < 1[/tex]
dwa rozwiązania
oraz brak rozwiązań rzeczywistych poza tym przedziałem.
pozdrawiam
