[tex]\huge\begin{array}{ccc}m=-1\ \vee\ m=\dfrac{4}{3}\\D.\ q=-\dfrac{2}{5}\end{array}[/tex]
Niech dany będzie punkt A(x, y). Wówczas współrzędne punktów symetrycznych do punktu A względem osi układu współrzędnych mają współrzędne:
OX: A'(x, -y)
OY: A''(-x, y)
Dane są punkty:
[tex]A(25q^2+12q+2;\ 3m^2-5m+2)\\\\B(8q+2;\ 6-4m)[/tex]
Punkty są symetryczne względem osi OY. Wówczas:
[tex]3m^2-5m+2=6-4m[/tex]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
[tex]3m^2-5m+4m+2-6=0\\\\3m^2-m-4=0\\\\3m^2+3m-4m-4=0\\\\3m(m+1)-4(m+1)=0\\\\(m+1)(3m-4)=0\iff m+1=0\ \vee\ 3m-4=0\\\\\boxed{m=-1\ \vee\ m=\dfrac{4}{3}}[/tex]
Oczywiście równanie można rozwiązać za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego Δ.
[tex]a=3,\ b=-1,\ c=-4\\\\\Delta=b^2-4ac\to\Delta=(-1)^2-4\cdot3\cdot(-4)=1+48=49 > 0\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{49}=7\\\\m_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ m_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\\\\m_1=\dfrac{-(-1)-7}{2\cdot3}=\dfrac{1-7}{6}=\dfrac{-6}{6}=-1\\\\m_2=\dfrac{-(-1)+7}{2\cdot3}=\dfrac{1+7}{6}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}[/tex]
Punkty są symetryczne względem osi OY. Wówczas:
[tex]25q^2+12q+2=-(8q+2)\\\\25q^2+12q+2=-8q-2\\\\25q^2+12q+8q+2+2=0\\\\25q^2+20q+4=0[/tex]
Możemy zauważyć zastosowanie wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]
[tex](5q)^2+2\cdot5q\cdot2+2^2=0\\\\(5q+2)^2=0\iff5q+2=0\\\\\boxed{q=-\dfrac{2}{5}}[/tex]
Oczywiście możemy skorzystać z wyróżnika:
[tex]a=25,\ b=20,\ c=4\\\\\Delta=20^2-4\cdot25\cdot4=400-400=0\\\\x_0=\dfrac{-b}{2a}\to x_0=\dfrac{-20}{2\cdot25}=\dfrac{-20}{50}=-\dfrac{2}{5}[/tex]
