Odpowiedź :
Wzajemne położenie prostej i okręgu
Prosta jest sieczną okręgu (ma 2 punkty wspólne z okręgiem) wtedy, kiedy odległość od prostej do środka okręgu jest mniejsza od długości promienia okręgu.
Prosta jest styczną okręgu (ma 1 punkt wspólny z okręgiem) wtedy, kiedy odległość od prostej do środka okręgu jest równa długości promienia okręgu.
Prosta jest rozłączna z okręgiem (nie ma punktów wspólnych z okręgiem) wtedy, kiedy odległość od prostej do środka okręgu jest większa od długości promienia okręgu.
Odległość punktu od prostej
Odleglość punktu P=(x₀, y₀) od prostej k danej w postaci ogólnej Ax+By+C=0 możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]\huge\boxed{d_{P, k}=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}}[/tex]
Równanie okręgu
Równanie okręgu w postaci kanonicznej jest następujące:
[tex]\huge\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2=r^2}[/tex]
gdzie:
- współrzędne środka okręgu to S=(a, b)
- długość promienia okręgu to r.
Warunek równoległości prostych
Dwie proste o równaniu kierunkowym y=ax+b są do siebie równoległe wtedy, kiedy ich współczynniki kierunkowe a są równe
[tex]\huge\boxed{\begin{array}\: l: y=a_1x+b\\k: y=a_2x+b\\a_1=a_2\end{array}}[/tex]
______________________________________________________
Rozwiązanie:
a)
Równanie okręgu:
[tex](x+3)^2+(y-5)^2=16[/tex]
Z wzoru ogólnego na równanie okręgu odczytujemy współrzędne środka okręgu oraz długość promienia:
[tex]\underline{S=(-3; 5)}\\r^2=16 / \sqrt{}\\\underline{r=4}[/tex]
Równanie prostej k:
[tex]y=x\\a_1=1[/tex]
Poszukujemy prostej l równoległej do prostej k, więc:
[tex]a_2=1\\y=x+b \to -x+y-b=0[/tex]
[tex]A=-1\\B=1\\C=-b[/tex]
Poszukujemy prostej odległej o r od środka okręgu.
[tex]d_{S, l}=\frac{|-1*(-3)+1*5-b|}{\sqrt{1+1}}=4\\\frac{|3+5-b|}{\sqrt2}=4 /*\sqrt2\\|3+5-b|=4\sqrt2\\|8-b|=4\sqrt2\\8-b=4\sqrt2 \vee -(8-b)=4\sqrt2\\-b=4\sqrt2-8 /*(-1) \vee b=4\sqrt2+8\\b=-4\sqrt2+8\\-x+y-(4\sqrt2+8)=0 \vee -x+y-(-4\sqrt2+8)=0\\-x+y-4\sqrt2-8=0 \vee -x+y+4\sqrt2-8=0[/tex]
[tex]\boxed{y=x+4\sqrt2+8 \vee y=x-4\sqrt2+8}[/tex]
Odp. Równania kierunkowych stycznych do tego okręgu i równoległych do prostej k mają postać: y=x+4√2+8 oraz y=x-4√2+8
b)
Równanie okręgu:
[tex]x^2+y^2-8x-6y+16=0\\(x-4)^2+(y-3)^2-3^2=0\\(x-4)^2+(y-3)^2=3^2[/tex]
Z wzoru ogólnego na równanie okręgu odczytujemy współrzędne środka okręgu oraz długość promienia:
[tex]\underline{S=(4, 3)}\\r^2=3^2\\\underline{r=3}[/tex]
Równanie prostej k:
[tex]y=-x\\a_1=-1[/tex]
Poszukujemy prostej l równoległej do prostej k, więc:
[tex]a_1=-1\\y=-x+b \to x+y-b=0[/tex]
[tex]A=1\\B=1\\C=-b[/tex]
Poszukujemy prostej odległej o r od środka okręgu.
[tex]d_{S, l}=\frac{|1*4+1*3-b|}{\sqrt{1+1}}=3\\\frac{|4+3-b|}{\sqrt2}=3 /*\sqrt2\\|7-b|=3\sqrt2\\\\7-b=3\sqrt2 \vee -(7-b)=3\sqrt2\\-b=3\sqrt2-7 \vee b=3\sqrt2 +7\\b=-3\sqrt2+7 \vee b=3\sqrt2+7\\\\x+y-(-3\sqrt2+7)=0 \vee x+y-(3\sqrt2+7)=0\\x+y+3\sqrt2-7=0 \vee x+y-3\sqrt2-7=0\\\\\boxed{y=-x-3\sqrt2+7 \vee y=-x+3\sqrt2+7}[/tex]
Odp. Równania kierunkowych stycznych do tego okręgu i równoległych do prostej k mają postać: y=-x-3√2+7 oraz y=-x+3√2+7