👤
Rozwiązane

Określ ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru m. 2x+3y=4 i 4x+my=2m.

Odpowiedź :

UNICORN05ON

Układ równań:

                                      [tex]\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}[/tex]

dla a₁ = a₂ jest:

  • oznaczony (ma jedno rozwiązanie), jeśli b₁ ≠ b₂
  • nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), jeśli b₁ = b₂ i  c₁ = c₂
  • sprzeczny (brak rozwiązań), jeśli  b₁ = b₂ i c₁ ≠ c₂

Zatem, aby określić liczbę rozwiązań układu wystarczy sprowadzić oba równania do postaci z jednakowymi współczynnikami przy x.

[tex]\begin{cases}2x+3y=4\qquad/\cdot2\\4x+my=2m\end{cases}\\\\\begin{cases}4x+6y=8\\4x+my=2m\end{cases}[/tex]

Czyli:

Dany układ równań ma jedno rozwiązanie dla m∈R\{6}

Natomiast dla m = 6 mamy 2m = 12:

[tex]\begin{cases}4x+6y=8\\4x+6y=12\end{cases}[/tex]

Czyli:

Dany układ równań nie ma rozwiązań dla m = 6.

Nie istnieje m, dla którego układ miałby nieskończoną liczbę rozwiązań.

On Studier: Inne Pytanie