Odpowiedź :
Pole otrzymanego pięciokąta ABCDE wynosi [tex]\frac{15\sqrt3}2[/tex].
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
Jeśli w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych oznaczymy jako [tex]\alpha[/tex], przyprostokątną naprzeciw niego jako a, drugą przyprostokątną jako b, a przeciwprostokątną jako c, to funkcje trygonometryczne kąta ostrego [tex]\alpha[/tex] możemy określić następująco:
[tex]\sin\alpha=\frac{a}{c}\\\cos\alpha=\frac{b}{c}\\\tan\alpha=\frac{a}{b}\\\cot\alpha=\frac{b}{a}[/tex]
Funkcje trygonometryczne kąta [tex]30^o[/tex]
Dla kąta [tex]30^o[/tex] mamy następujące wartości funkcji trygonometrycznych:
[tex]\sin30^o=\frac12\\\cos30^o=\frac{\sqrt3}2\\\tan30^o=\frac{\sqrt3}3\\\cot30^o=\sqrt3[/tex]
Ponadto w zadaniu przydadzą nam się wzory:
- [tex]P=\frac{a^2\sqrt3}4[/tex] - wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a;
- [tex]P=\frac12ah[/tex] - wzór na pole trójkąta o podstawie długości a i wysokości h.
Mamy dwa przystające (czyli takie same) trójkąty równoboczne oraz dwa przystające trójkąty prostokątne. Układamy z nich pięciokąt ABCDE, jak w załączniku. Obliczymy jego pole.
Możemy policzyć pola trójkątów równobocznych:
[tex]P_{AFE}=P_{FBC}=\frac{3^2\sqrt3}4=\frac{9\sqrt3}4[/tex].
Aby policzyć pola trójkątów prostokątnych musimy znaleźć długość drugiej przyprostokątnej w tych trójkątach. Wyznaczymy ją, korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego.
Znamy miary kątów AFE i BFC - kąty te są sobie równe i mają miarę [tex]60^o[/tex]. Katy AFE, BFC, CFD i EFD tworzą razem kąt półpełny - [tex]180^o.[/tex] Kąty CFD i EFD mają taką samą miarę równą
[tex](180^o-2*60^o):2=(180^o-120^o):2=60^o:2=30^o[/tex].
Mamy:
[tex]\tan30^o=\frac{|DE|}{|EF|}\\\frac{\sqrt3}3=\frac{x}3/*3\\x=\sqrt3[/tex]
Możemy policzyć teraz pola trójkątów EFD i FCD:
[tex]P_{EFD}=P_{FCD}=\frac12*3*\sqrt3=\frac{3\sqrt3}2[/tex].
Pole pięciokątna ABCDE wynosi:
[tex]P_{ABCDE}=P_{AFE}+P_{FBC}+P_{EFD}+P_{FCD}=2*\frac{9\sqrt3}4+2*\frac{3\sqrt3}2=\frac{9\sqrt3}2+\frac{6\sqrt3}2=\frac{15\sqrt3}2[/tex]
#SPJ4
