Odpowiedź:
Ciąg nieskończony ([tex]a_{n}[/tex]) jest ciągiem arytmetycznym, jeśli d) aₙ = 3n + 1.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciąg liczbowy ([tex]a_{n}[/tex]) nazywamy ciągiem arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym wyrazem ciągu, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała dla danego ciągu i oznaczamy ją przez r.
[tex]r = a_{n+1} - a_{n}[/tex]
a)
[tex]a_{n}= \frac{1}{n}\\\\a_{n+1} = \frac{1}{n+1}\\\\Tworzymy \ roznice:\\\\r=a_{n+1} - a_{n} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n-(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n-n-1}{n(n+1)} = \frac{-1}{n(n+1)}[/tex]
Różnica nie jet liczbą! Zauważ, że wyrażenie [tex]\frac{-1}{n(n+1)}[/tex] zależy od n ∈ N, przyjmuje różne wartości w zależności od tego, ile wynosi n.
Odp. Ciąg ([tex]a_{n}[/tex]) nie jest arytmetyczny.
b)
[tex]a_{n} = 3^{n}\\\\a_{n+1} = 3^{n+1} = 3^{n}\cdot3\\\\r = a_{n}-a_{n+1} = 3^{n}\cdot3 - 3^{n} = 3^{n}(3-1) = 2\cdot 3^{n}[/tex]
Różnica nie jest stała (nie jest liczbą) zależy od a i przyjmuje różne wartości (w zależności od a)
Odp. Ciąg ([tex]a_{n}[/tex]) nie jest ciągiem arytmetycznym.
c)
[tex]a_{n} = n^{2}\\\\a_{n+1} = (n+1)^{2} = n^{2}+2n+1^{2} = n^{2}+2n+1\\\\r = a_{n+1}-a_{n} = n^{2}+2n+1 - n^{2} = 2n+1[/tex]
Odp. Różnica nie jest stała (nie jest liczbą), zależy od n i przyjmuje różne wartości zależności od n.
Odp. Ciąg ([tex]a_{n}[/tex]) nie jest ciągiem arytmetycznym.
d)
[tex]a_{n} = 3n+1\\\\a_{n+1} = 3(n+1)+1 = 3n+3+1 = 3n+4\\\\r = a_{n+1}-a_{n} = 3n+4 -(3n+1) = 3n+4 -3n-1 =\underline{3}[/tex]
Odp. Różnica wynosi r = 3, czyli ciąg ([tex]a_{n}[/tex]) jest arytmetyczny.
