Z - zbiór liczb całkowitych
[tex]a_{n-1},a_n,a_{n+1}[/tex] - trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego
[tex]a_{n-1}=a_1\cdot q^{n-2}\in Z[/tex]
[tex]a_{n}=a_1\cdot q^{n-1}\in Z[/tex]
[tex]a_{n+1}=a_1\cdot q^{n}\in Z[/tex]
Należy udowodnić, że
[tex]\frac{a_{n-1}^2+a_n^2+a_{n+1}^2}{a_{n-1}+a_n+a_{n+1}}\in Z[/tex]
[tex]\frac{a_{n-1}^2+a_n^2+a_{n+1}^2}{a_{n-1}+a_n+a_{n+1}}=\frac{(a_1\cdot q^{n-2})^2+(a_1\cdot q^{n-1})^2+(a_1\cdot q^{n})^2}{a_1\cdot q^{n-2}+a_1\cdot q^{n-1}+a_1\cdot q^{n}}=[/tex]
[tex]\frac{a_1^2\cdot q^{2n-4}+a_1^2\cdot q^{2n-2}+a_1^2\cdot q^{2n}}{a_1\cdot q^{n-2}(1+q+q^2)}=\frac{a_1^2\cdot q^{2n-4}(1+q^2+q^4)}{a_1\cdot q^{n-2}(q^2+q+1)}=[/tex]
[tex]\frac{a_1^2\cdot q^{2n-4}(q^4+q^2+1)}{a_1\cdot q^{n-2}(q^2+q+1)}=a_1q^{n-2}(q^2-q+1)=[/tex]
[tex]a_1q^n-a_1q^{n-1}+a_1q^{n-2}=a_{n+1}-a_n+a_{n-1}\in Z[/tex]
Suma liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
