pole całkowite: 86,4 cm²
objętość: [tex]\frac{288\sqrt{15} }{25}[/tex] cm³.
Rysunki pomocnicze znajdują się w załączniku.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Wierzchołek takiego ostrosłupa leży dokładnie nad środkiem podstawy. Oznaczmy poprzez "a" bok kwadratu, literką H zaznaczmy wysokość ostrosłupa, literką h oznaczmy wysokość trójkąta równoramiennego (ściany bocznej). Zaznaczmy również wszystkie wierzchołki.
1. Narysujmy trójkąt EGF. Ważną rzeczą jest zaznaczenie kąta 60°, ponieważ "dorysowując" z drugiej strony taki sam trójkąt dostajemy trójkąt równoboczny. Jego wszystkie boki są równe, więc możemy zauważyć że długość wysokości trójkąta h równa się tak naprawdę długości boku a (a=h).
2. Narysujmy trójkąt EFD. Tutaj zauważamy, że zamiast literki h (jak to jest na rysunku) możemy podstawić literkę a, ponieważ wiemy ze wcześniejszej zależności, że a = h. Obliczmy, z twierdzenia Pitagorasa długość a:
[tex]a^2+(\frac12a)^2 = 6^2\\a^2+\frac14a^2=36\\\frac54a^2=36\\5a^2=144\\a^2=\frac{144}{5}\\a=\frac{12}{\sqrt{5}}\\a=\frac{12\sqrt{5} }{5}[/tex]
Długość boku a to [tex]\frac{12\sqrt{5} }{5}[/tex]. Zauważmy, że jest to również długość wysokości trójkąta h (ponieważ a=h).
3. Podstawmy dane do trójkąta EGF i obliczmy wysokość ostrosłupa H:
[tex]H^2+(\frac12*\frac{12\sqrt{5} }{5} )^2=(\frac{12\sqrt{5} }{5})^2\\H^2+(\frac{12\sqrt{5} }{10} )^2=(\frac{12\sqrt{5} }{5})^2\\H^2+\frac{144*5}{100}=\frac{144*5}{25} \\ H^2+\frac{36}{5}=\frac{144}{5}\\H^2=\frac{144}{5}-\frac{36}{5}\\H^2=\frac{108}{5}\\ H=\sqrt{\frac{108}{5} } \\H=\frac{6\sqrt{3} }{\sqrt{5} } \\H=\frac{6\sqrt{15} }{5}[/tex]
Długość wysokości ostrosłupa to [tex]\frac{6\sqrt{15} }{5}[/tex].
4. Mamy już wszystkie dane, które pozwolą nam obliczyć objętość jak i pole powierzchni całkowitej. Wzory, którymi będziemy się posługiwać:
wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o podstawie kwadratu:
Pc = Pp + Pb = a² + 4 × [tex]\frac{1}{2}[/tex] × a × h = a² + 2 × a × h
Pole powierzchni całkowitej składa się z pola podstawy (czyli a²) i czterech trójkątów (czyli 4 × [tex]\frac{1}{2}[/tex] × a × h). Podstawmy do wzoru:
[tex]Pc=a^2+2*a*h\\Pc=(\frac{12\sqrt{5} }{5})^2 +2*\frac{12\sqrt{5} }{5}*\frac{12\sqrt{5} }{5}\\Pc=\frac{144*5}{25} +2*\frac{144*5}{25} \\Pc=\frac{144}{5}+\frac{288}{5} \\Pc=\frac{432}{5}\\ Pc=86,4[/tex]
Pole całkowite tego ostrosłupa wynosi 86,4 cm².
wzór na objętość ostrosłupa o podstawie kwadratu:
[tex]V=\frac13*Pp*H\\V=\frac13*a^2*H\\[/tex]
Pp czyli pole podstawy to u nas pole kwadratu, czyli a². Podstawmy nasze dane do tego wzoru:
[tex]\\V=\frac13*a^2*H\\\\V=\frac13*(\frac{12\sqrt{5} }{5})^2*\frac{6\sqrt{15} }{5} \\V=\frac13*\frac{144*5}{25} *\frac{6\sqrt{15} }{5}\\\\V=\frac13*\frac{144}{5}* \frac{6\sqrt{15} }{5}\\V=\frac{864\sqrt{15} }{75}\\V= \frac{288\sqrt{15} }{25}[/tex]
Objętość tego ostrosłupa wynosi [tex]\frac{288\sqrt{15} }{25}[/tex] cm³.
