👤

W prostokątnym układzie współrzędnych dane są dwa
punkty: A=(-1, -2) i B=(2,1).
Czy punkt B leży w kole o środku w punkcie A i promieniu r= 4?​.


Odpowiedź :

Punkt B nie leży w kole o środku w punkcie A i promieniu r=4.

Zadanie dotyczy znalezienia odległości między dwoma punktami oraz ustalenia, jaka jest zależność między tą odległością, a promieniem r=4..

Rozwiązując zadanie musimy obliczyć odległość między dwoma punktami [tex]A=(x_{A} ,y_{A} )[/tex] oraz [tex]B=(x_{B} ,y_{B} )[/tex]. Skorzystamy tutaj ze wzoru na odległość między dwoma punktami, który prezentuje się następująco:

[tex]d=\sqrt{(x_{B} -x_{A} )^{2} +(y_{B} -y_{A} )^{2} }[/tex]

Teraz obliczamy odległość między naszymi dwoma punktami A=(-1, -2) i B=(2,1). Gdy otrzymamy odległość mniejszą od d=4, to Punkt B leży w kole o promieniu r=4 i środku w punkcie A, w przeciwnym razie leży poza nim. Sprawdzamy więc i obliczamy:

[tex]d=\sqrt{(2 -(-1))^{2} +(1 -(-2) )^{2} }=\sqrt{(3)^{2} +(3 )^{2} } =\\\\\\=\sqrt{9+9} =\sqrt{18} =\sqrt{9*2}=3\sqrt{2}[/tex]

Wiemy, że [tex]3\sqrt{2}[/tex] jest większe od 4. Możemy to udowodnić, dzięki porównaniu:

[tex]3\sqrt{2} \neq 4 /^{2}[/tex]

Podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:

18 > 16 ⇒ [tex]3\sqrt{2}[/tex] > 4

Wniosek: Punkt B leży poza kołem o środku w punkcie A i promieniu r=4.