Odpowiedź :
Wyrażenie zapisane w postaci sumy algebraicznej ma postać:
[tex]19x^{3} -39x^{2} +3x-2[/tex]
Uproszczone wyrażenie ma postać:
[tex]2x^{6}+96x^{2}[/tex]
Do rozwiązanie wyrażeń z zadania wykorzystamy wzory skróconego mnożenia związane z trzecimi potęgami, które mają następującą postać:
- sześcian sumy:
[tex](a+b)^{3}=a^3}+3a^{2}b+3ab^{2} +b^{3}[/tex]
- sześcian różnicy:
[tex](a-b)^{3}=a^3}-3a^{2}b+3ab^{2} -b^{3}[/tex]
Zapiszmy w postaci sumy algebraicznej następujące wyrażenie:
[tex](3x-1)^{3} -(2x+1)^{3}[/tex]
Aby je rozwiązać rozbijmy je na dwa składniki z których składa się dana różnica i obliczmy je oddzielnie.
Zacznijmy od pierwszego, gdzie jako nasze wzorcowe a potraktujemy wyrażenie 3x, a jako b jedynkę. Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:
[tex](3x-1)^{3} = (3x)^{3} -3*(3x)^{2} *1+3*3x*1^{2} -1^3=27x^{3} -27x^{2} +9x-1[/tex]
Teraz analogicznie, lecz wykorzystując tym razem wzór na sześcian sumy obliczymy drugi składnik. Otrzymujemy:
[tex](2x+1)^{3} = (2x)^{3} +3*(2x)^{2} *1+3*2x*1^{2} +1^3=8x^{3} +12x^{2} +6x+1[/tex]
Podstawiając do wyrażenia otrzymujemy:
[tex](3x-1)^{3} -(2x+1)^{3}=27x^{3} -27x^{2} +9x-1-(8x^{3} +12x^{2} +6x+1)=(27-8)x^{3} +(-27-12)x^{2} +(9-6)x-2=19x^{3} -39x^{2} +3x-2[/tex]
Otrzymujemy więc, że suma algebraiczna ma postać:
[tex]19x^{3} -39x^{2} +3x-2[/tex]
Teraz przejdźmy do uproszczenia następującego wyrażenia:
[tex](x^2 + 4)^3 + (x^2 - 4)^3[/tex]
Aby je rozwiązać rozbijmy je ponownie na dwa składniki z których składa się dana suma i obliczmy je oddzielnie.
Zacznijmy od pierwszego, gdzie jako nasze wzorcowe "a" potraktujemy wyrażenie x^2, a jako b liczbę 4. Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy:
[tex](x^2 + 4)^3=(x^2)^3+3*(x^2)^2*4+3*x^2*4^2+4^3= x^{6} +12x^{4} +48x^{2} + 64[/tex]
Teraz zauważmy, że drugi składnik sumy różni się od przed chwilą obliczonego jedynie znakiem, więc zamiast wzoru na sześcian sumy skorzystamy ze wzoru na sześcian różnicy. Zauważmy, że wynik będzie się różnił tylko znakami w dwóch miejscach. Skorzystajmy z tego i otrzymujemy:
[tex](x^2 - 4)^3=x^{6} -12x^{4} +48x^{2} - 64[/tex]
Podstawiając do wyrażenia otrzymujemy:
[tex](x^2 + 4)^3 + (x^2 - 4)^3= x^{6} +12x^{4} +48x^{2} + 64+x^{6} -12x^{4} +48x^{2} - 64=2x^{6}+96x^{2}[/tex]
Otrzymujemy więc uproszczone wyrażenie w postaci:
[tex]2x^{6}+96x^{2}[/tex]