Długość odcinka AD wynosi [tex]|AD|=3\sqrt{89}[/tex]
Trójkąt równoramienny to taki trójkąt, w którym dwa boki są równej długości - nazywamy je ramionami. Trzeci bok tego trójkąta nazywamy podstawą.
Twierdzenie cosinusów pozwala nam policzyć długość boku trójkąta, jeśli znamy długości pozostałych dwóch boków tego trójkąta oraz miarę kąta między nimi.
Jeśli oznaczymy szukany bok jako c, pozostałe dwa boki jako a i b, a kąt między nimi jako [tex]\gamma[/tex], możemy zapisać równość:
[tex]c^2=a^2+b^2-2*a*b*\cos\gamma[/tex].
Mamy trójkąt ABC, gdzie [tex]|AB|=32,|BC|=|AC|=34[/tex]. Punkt D jest środkiem boku BC. Poszukamy długości odcinka AD.
Kąt ABC zaznaczony na rysunku jako [tex]\alpha[/tex] jest wspólny dla trójkątów ABC i ABD. W trójkącie ABC jesteśmy w stanie wyznaczyć cosinus kąta [tex]\alpha[/tex] z twierdzenia cosinusów. Później układając twierdzenie cosinusów dla trójkąta ABD, policzymy długość odcinka AD.
Dla trójkąta ABC mamy:
[tex]|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2-2*|AB|*|BC|*\cos\alpha\\34^2=32^2+34^2-2*32*34*\cos\alpha\\1156=1024+1156-2176\cos\alpha/-1156\\0=1024-2176\cos\alpha/+2176\cos\alpha\\2176\cos\alpha=1024/:2176\\\cos\alpha=\frac{1024}{2176}=\frac8{17}[/tex]
Możemy teraz ułożyć twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD i policzyć długość odcinka AD:
[tex]|AD|^2=|AB|^2+|BD|^2-2*|AB|*|BD|*\cos\alpha\\|AD|^2=32^2+17^2-2*32*17*\frac8{17}\\|AD|^2=1024+289-1088*\frac8{17}=1313-64*\frac81=1313-512=801\\|AD|=\sqrt{801}=\sqrt{9*89}=3\sqrt{89}[/tex]
Zatem długość odcinka AD wynosi [tex]3\sqrt{89}[/tex].
Rysunek do zadania w załączniku.
