Odpowiedź:
-->
AC = [ 8, 16 ]
-->
BD = [ - 12, 6 ]
Obliczam iloczyn skalarny tych wektorów:
--> -->
AC o BD = 8*(-12) + 16*6 = - 96 + 96 = 0
Te wektory są prostopadłe więc i przekątne są prostopadłe.
I AC I = [tex]\sqrt{8^2 + 16^2} = \sqrt{320}[/tex] = 8 √5
I BD I = [tex]\sqrt{(-12)^2 + 6^2} = \sqrt{180}[/tex] = 6 √5
Pole czworokąta
P = 0,5 I AC I * I BD I = 0,5 * 8 √5*6 √5 = 24*5 = 120 [ j²]
===================================================
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przekątne AC i BD są prostopadłe, jeśli zawierające je proste są prostopadłe.
Aby sprawdzić, czy proste AC i BD są prostopadłe, wystarczy obliczyć ich współczynniki kierunkowe i sprawdzić czy spełniają warunek prostopadłości prostych:
[tex]\bold{AC\perp BD\quad\iff\quad a_{AC}\cdot a_{BD}=-1}[/tex]
Najprostszym sposobem obliczenia współczynnika kierunkowego prostej przechodzącej przez dwa dane punkty jest skorzystanie ze wzoru:
[tex]\bold{a=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej AC:
[tex]\bold{a_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\dfrac{8-(-8)}{6-(-2)}=\dfrac{16}{8}=2}[/tex]
Współczynnik kierunkowy prostej BD:
[tex]\bold{a_{BD}=\dfrac{y_D-y_B}{x_D-x_B}=\dfrac{4-(-2)}{-4-8}=\dfrac{6}{-12}=-\dfrac12}[/tex]
[tex]\bold{a_{AC}\cdot a_{BD}=2\cdot(-\frac12)=-1\quad\implies\quad AC\perp BD }[/tex]
Długość odcinka o podanych współrzędnych jego końców liczymy ze wzoru: [tex]\bold{|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}[/tex]
Długość AC:
[tex]\bold{|AC|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}}\\\\\bold{|AC|=\sqrt{(6+2)^2+(8+8)^2}=\sqrt{64+256}=\sqrt{320}=\sqrt{64\cdot5}=8\sqrt5}[/tex]
Długość BD:
[tex]\bold{|BD|=\sqrt{(x_D-x_B)^2+(y_D-y_B)^2}}\\\\\bold{|BD|=\sqrt{(-4-8)^2+(4+2)^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt5}[/tex]
[tex]\bold{P=\frac12|AC||BD|}\\\\\bold{P=\frac12\cdot8\sqrt5\cdot6\sqrt5=24\cdot5=120\ }[j^2]\\\\\large\boxed{\bold{P=120\ }[j^2]}[/tex]
