Odpowiedź:
NIE
Szczegółowe wyjaśnienie:
Sposób I.
Aby ciąg był arytmetyczny, różnica [tex]a_{n+1}-a_n[/tex] po uproszczeniu musi być wartością stałą, tzn. niezależną od n.
Sprawdźmy, czy jest tak w tym przypadku.
[tex]a_{n+1}-a_n=(n+1)(n+1-1)(n+1-2)+5-[n(n-1)(n-2)+5]=\\=(n+1)n(n-1)+5-n(n-1)(n-2)-5=n(n-1)(n+1-n+2)=\\=n(n-1)*3=3n(n-1)[/tex]
Powyższa różnica po uproszczeniu zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.
Sposób II.
Policzmy kilka pierwszych wyrazów.
[tex]a_1=1*(1-1)(1-2)+5=1*0*(-1)+5=5\\a_2=2*(2-1)(2-2)+5=2*1*0+5=5\\a_3=3*(3-1)(3-2)+5=3*2*1+5=6+5=11[/tex]
Zauważamy, że
[tex]a_2-a_1=5-5=0\\a_3-a_2=11-5=6[/tex]
Oznacza to, że sąsiednie wyrazy nie różnią się o stałą, więc ciąg nie jest arytmetyczny.
