Odpowiedź:
Będziemy się tu posługiwać twierdzeniem Pitagorasa.
1. Pierwszym krokiem powinno być wykonanie rysunku. Dzięki temu nie zgubimy się w oznaczeniach. Rysunek, pokaże nam też, że przez poprowadzenie wysokości na przeciwprostokątną powstały nam 2 kolejne trójkąty prostokątne.
2. Wypiszmy dane:
IADI = ICDI - 2
IDBI = 2 ICDI - 3
3. Obliczmy długość boku AB
IABI = IADI + IDBI = ICDI - 2 + 2ICDI - 3 = 3ICDI - 5
4. Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku AC
[tex]|AC|^{2} = |CD|^{2} + |AD|^{2}[/tex]
[tex]|AC|^{2} = |CD|^{2} + (|CD| - 2)^{2} \\[/tex]
[tex]|AC|^{2} = |CD|^{2} + |CD|^{2} - 2|CD| + 4[/tex]
[tex]|AC|^{2} = 2|CD|^{2} - 2|CD| + 4[/tex]
na razie nie liczymy tego dalej
5. Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku CB
[tex]|CB|^{2} = |CD|^{2} + |DB|^{2}[/tex]
[tex]|CB|^{2} = |CD|^{2} + (2|CD| - 3)^{2}[/tex]
[tex]|CB|^{2} = |CD|^{2} + 4|CD|^{2} - 12|CD| + 9[/tex]
[tex]|CB|^{2} = 5|CD|^{2} - 12|CD| + 9[/tex]
również pozostawiamy to w takiej postaci
6. Z twierdzenia Pitagorasa podstawiamy więc poszczególne odcinki dla głównego trójkąta:
[tex]|AC|^{2} + |CB|^{2} = |AB|^{2}[/tex]
[tex]|CD|^{2} + |CD|^{2} - 2|CD| + 4 + 5|CD|^{2} - 12|CD| + 9 = (3|CD| - 5)^{2}[/tex]
[tex]7|CD|^{2} - 16|CD| + 13 = 9|CD|^{2} - 30|CD| + 25[/tex]
[tex]2|CD|^{2} -14|CD| + 12 = 0[/tex]
7. Liczymy z równiania kwadratowego
Δ[tex]=(-14)^{2} - 4 * 2 * 12 = 196 - 96 = 100[/tex]
x1 = [tex]\frac{14 - 10}{4} = 1[/tex]
x2 = [tex]\frac{14 + 10}{4} = 6[/tex]
wychodzą nam zatem 2 możliwe rozwiązania:
|CD| = 1 LUB |CD| = 6
8. Podstawiamy to do poprzednich wzorów i obliczamy obwód takiego trójkąta
WARIANT 1. |CD| = 1
IABI = 3ICDI - 5 = 3 - 5 = - 2 BŁĄD, długość odcinka nie może być ujemna, dlatego odrzucamy to rozwiązanie
WARIANT 2. |CD| = 6
IABI = 3ICDI - 5 = 3*6 - 5 = 18 - 5 = 13
[tex]|AC|^{2} = 2|CD|^{2} - 2|CD| + 4 = 2 *6^{2} - 2 * 6 + 4 = 2 * 36 - 12 + 4 = 72 - 12 + 4 = 64[/tex]
|AC| = 8
[tex]|CB|^{2} = 5|CD|^{2} - 12|CD| + 9 = 5 * 6^{2} - 12 * 6 + 9 = 180 - 72 + 9 = 117[/tex]
[tex]|CB| = \sqrt{117}[/tex]
Obwód ABC = 13 + 8 + [tex]\sqrt{117}[/tex] = 21 + \sqrt{117}
Dobrze byłoby to jeszcze raz przeliczyć, czy nigdzie nie pomyliłam się przy podstawianiu/obliczeniach. Metoda jednak jest ta sama. Dla ułatwienia, zamiast posługiwania się oznaczeniami typu |CD| można podstawić sobie literki a,b,c itd. Łatwiej wtedy śledzić równanie i wychwycić ewentualne błędy.
