Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=\left(m+\dfrac{2}{3}\right)x^3-4x^2+(8-m)x+5\\\\D_f=\mathbb{R}\\\\f'(x)=3\left(m+\dfrac{2}{3}\right)x^2-8x+(8-m)\\\\D_{f'}=\mathbb{R}\\\\f'(x)=0\iff(3m+2)x^2-8x+(8-m)=0\\\\a=3m+2,\ b=-8,\ c=8-m\\\\\Delta=(-8)^2-4\cdot(3m+2)\cdot(8-m)=64-96m+12m^2-64+8m\\\Delta=12m^2-88m\\\\\Delta > 0\iff12m^2-88m > 0\qquad|:4\\\\3m^2-22m > 0\\\\m(3m-22) > 0\Rightarrow m\in\left(-\infty,\ 0\right)\ \cup\ \left(\dfrac{22}{3},\ \infty\right)[/tex]
Funkcja jest rosnąca, gdy f'(x) > 0. Stąd:
[tex](3m+2)x^2-8x+(8-m) > 0[/tex]
Funkcja ma być rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.
Pochodna jest funkcją kwadratową. Aby przyjmowała tylko wartości dodatnie, to współczynnik a przy x² musi być dodatni oraz funkcja nie może posiadać miejsc zerowych.
Stąd mamy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3m+2 > 0&(1)\\\Delta < 0&(2)\end{array}\right\\\\(1)\qquad3m+2 > 0\qquad|-2\\3m > -2\qquad|:3\\m > -\dfrac{2}{3}\\\\(2)\qquad12m^2-88m < 0\\m(3m-22) < 0\Rightarrow m\in\left(0,\ \dfrac{22}{3}\right)[/tex]
Musimy również rozważyć, że nie będzie to funkcja wielomianowa trzeciego stopnia.
[tex]m+\dfrac{2}{3}=0\qquad|-\dfrac{2}{3}\\\\m=-\dfrac{2}{3}[/tex]
Wówczas funkcja przyjmuje postać:
[tex]f(x)=-4x^2+\left(8+\dfrac{2}{3}\right)x+5=-4x^2+\dfrac{26}{3}x+5[/tex]
Otrzymujemy funkcję kwadratową, która zmienia swoją monotoniczność.
