Witaj :)
Naszym zadaniem jest usunięcie niewymierności z mianownika dwóch ułamków. Usuwanie niewymierności polega na przemnożeniu licznika i mianownika naszego ułamka przez liczbę sprzężoną z mianownikiem. Jeśli w mianowniku mamy sumę dwóch składników, to należy pomnożyć przez różnicę tych liczb, a jeśli mamy różnicę, to wówczas mnożymy przez sumę.
Przykład a
[tex]\frac{3}{\sqrt{3}-2}\cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2}=\frac{3(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}=\frac{3\sqrt{3}+6}{(\sqrt{3})^2-2^2} =\frac{3\sqrt{3}+6}{3-4}=\frac{3\sqrt{3}+6}{-1}=-(3\sqrt{3}+6)=\\ \\ =\boxed{-3\sqrt{3}-6}[/tex]
Przykład b
[tex]\frac{\sqrt{3}+3\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}+3\sqrt{5})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-2\sqrt{3})(\sqrt{5}+2\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5\cdot3}+2\sqrt{3\cdot3}+3\sqrt{5\cdot5}+3\cdot2\cdot\sqrt{5\cdot3}}{(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{3})^2}=\\ \\ =\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{9}+3\sqrt{25}+6\sqrt{15}}{5-2^2\cdot 3}=\frac{\sqrt{15}+2\cdot 3+3\cdot 5+6\sqrt{15}}{5-12}=\frac{7\sqrt{15}+6+15}{-7} =\frac{7\sqrt{15}+21}{-7}=\\[/tex]
[tex]=\frac{\sqrt{15}+3}{-1}=-(\sqrt{15}+3)=\boxed{ -\sqrt{15}-3}[/tex]
Zastosowano wzór skróconego mnożenia:
[tex](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/tex]
