Upraszczanie wyrażeń - ułamki, pierwiastki.
Zad.1.
- Mamy ułamek zwykły postaci:
[tex]\frac{9^{-\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{3}}{(\sqrt3)^{-9} \cdot 9^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{27^2}} = \ldots[/tex] - Przekształćmy go do czytelniejszej postaci:
[tex]\ldots = 9^{-\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[6]{3} \cdot\left[ (\sqrt3)^{-9} \cdot 9^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt[3]{27^2} \right] ^{-1} = \ldots[/tex] - Następnie skorzystamy z faktów, że:
[tex]9=3^2 \quad 27=3^3 \quad \sqrt[n]3 = 3^{\frac{1}{n}}[/tex]
dostając:
[tex]\ldots = 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot\left[ 3^{-\frac{9}{2}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{6}{3}} \right] ^{-1} = 3^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{6}} \cdot3^{\frac{9}{2}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^{-\frac{6}{3}} = \ldots[/tex] - Finalnie "zwijamy" wykładniki potęg korzystając z faktu, że:
[tex]x^a \cdot x^b = x^{a+b}[/tex]
dostając:
[tex]\ldots = 3^{-\frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{9}{2}-\frac{4}{3}-\frac{6}{3}} = 3 ^\frac{2}{3}[/tex]
Zad.2.
- Mamy ułamek:
[tex]\frac{2 \sqrt3}{\sqrt3-1}[/tex] - By usunąć niewymierność z mianownika skorzystamy ze "wzoru skróconego mnożenia": [tex](a+b)(a-b) = a^2-b^2[/tex]. W tym celu rozszerzymy licznik i mianownik ułamka przez [tex](\sqrt3 +1)[/tex], dostając:
[tex]\frac{2 \sqrt3}{\sqrt3-1} = \frac{2 \sqrt3(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)} = \frac{2(3+ \sqrt3)}{3-1} = 3+ \sqrt3[/tex]
Warto zapamiętać, że wyrażenie postaci:
[tex]\sqrt[a]{x^b}[/tex]
można zapisać jako:
[tex]x^\frac{b}{a}[/tex]
