Odpowiedź :
Obliczanie miar kątów trójkąta.
Kąty mają miarę: [tex]9^\circ,51^\circ,120^\circ[/tex]
W zadaniu musimy obliczyć miary kątów w trójkącie o danych długościach boków.
Twierdzenie cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha[/tex]
gdzie bok [tex]a[/tex] jest bokiem leżącym naprzeciwko kąta [tex]\alpha[/tex]
Obliczenia dla pierwszego kąta:
[tex]a=1,b=5,c=\sqrt{31}[/tex]
[tex]1^2=5^2+(\sqrt{31})^2-2\cdot 5\cdot \sqrt{31}\cdot \cos \alpha[/tex]
[tex]1=25+31-10\sqrt{31}\cos \alpha[/tex]
[tex]10\sqrt{31}\cos \alpha=55[/tex]
[tex]\cos \alpha=\frac{55}{10\sqrt{31}}[/tex]
[tex]\cos \alpha=\frac{55}{10\sqrt{31}}\cdot \frac{10\sqrt{31}}{10\sqrt{31}}=\frac{550\sqrt{31}}{3100}\approx 0,987[/tex]
[tex]\alpha\approx 9^\circ[/tex]
Obliczenia dla drugiego kąta:
[tex]a=1,b=5,c=\sqrt{31}[/tex]
[tex]5^2=1^2+(\sqrt{31})^2-2\cdot 1\cdot \sqrt{31}\cos \beta[/tex]
[tex]25=1+31-2\sqrt{31}\cos \beta[/tex]
[tex]2\sqrt{31}\cos \beta=32-25[/tex]
[tex]2\sqrt{31}\cos \beta=7[/tex]
[tex]\cos \beta=\frac{7}{2\sqrt{31}}[/tex]
[tex]\cos \beta=\frac{7}{2\sqrt{31}}\cdot \frac{2\sqrt{31}}{2\sqrt{31}}=\frac{14\sqrt{31}}{124}\approx 0,628[/tex]
[tex]\beta\approx 51^\circ[/tex]
Obliczenia dla trzeciego kąta:
[tex]a=1,b=5,c=\sqrt{31}[/tex]
[tex](\sqrt{31}})^2=1^2+5^2-2\cdot1\cdot 5\cdot\cos \gamma[/tex]
[tex]31=1+25-10\cos \gamma[/tex]
[tex]10\cos \gamma=26-31[/tex]
[tex]10\cos \gamma=-5[/tex]
[tex]\cos \gamma=-\frac{1}{2}[/tex]
Cosinus przyjmuje wartość ujemną, więc kąt musi mieć miarę większą niż [tex]90^\circ[/tex]. Korzystamy z tego, że:
[tex]\cos(180^\circ -\delta)=-\cos\delta[/tex]
u nas: [tex]-\cos \delta=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\cos\delta=\frac{1}{2}\rightarrow \delta=60^\circ[/tex]
Zatem szukany kąt ma miarę:
[tex]\gamma=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex]