Odpowiedź:
[tex]y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{19}{2}\quad\quad y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przedstawmy wzór prostej k w postaci kierunkowej:
[tex]2x-y-8=0\\y=2x-8[/tex]
prosta do niej prosopadła będzie postaci:
[tex]y=-\dfrac{1}{2}x+b[/tex]
wartość bmusimy znaleźć. Podstawmy tę zależność do rówania okręgu:
[tex]x^2+\left(-\dfrac{1}{2}x+b\right)^2+8x-29=0\\x^2+\dfrac{1}{4}x^2-bx+b^2+8x-29=0\\\dfrac{5}{4}x^2+\left(8-b\right)x+b^2-29=0[/tex]
Rozwiązaniem tego równania są punkty przecięcia okręgu i prostej. Aby prosta była styczną musi mieć jeden punkt wspólny z okręgim czyli delta tego równania musi być równa zero.
[tex]\Delta = (8-b)^2-4\cdot \dfrac{5}{4}\cdot (b^2-29)=\\64-16b+b^2-5b^2+145=-4b^2-16b+209\\4b^2+16b-209=0\\\Delta_2=16^2+4\cdot 4\cdot 209=3600=60^2\\b_1=\dfrac{-16-60}{2\cdot 4}=-\dfrac{19}{2}\\b_2=\dfrac{-16+60}{8}=\dfrac{11}{2}[/tex]
Możemy już napisać równania szukanych stycznych:
[tex]\boxed{y=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{19}{2}\quad \quad y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}}[/tex]
