Odpowiedź :
Odpowiedź:
Miejsca zerowe: x-2=0 v x+1=0 x=2 v x=-1 miejsca zerowe położone są symetrycznie wzgledem osi symetrii paraboli x=p p=1/2*(2-1)=1/2 a=-1<0 Najwieksza wartosc istnieje dla x=1/2 max=f(1/2)=-(1/2-2)*(1/2+1)=-(-1,5)*(1,5)=2,25 f(0)=2*1=2 > f(4)=-(4-2)*(4+1)=-2*5=-10 min=f(4)=-10
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wartość największą i najmniejszą funkcja może posiadać na krańcach dziedziny lub w ekstremach.
Liczę pochodną funkcji i wyznaczam ekstrema:
[tex]f(x)=\frac13x^3+x^2-8x-8 \\f'(x)=x^2+2x-8 \\\Delta=4+32=36=6^2 \\x_1=\frac{-2-6}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \\x_2=\frac{-2+6}{2}=\frac{4}{2}=2 \\[/tex]
Teraz, możemy naszkicować wykres pochodnej funkcji i z niego odczytać, że -4 to maksimum, a 2 to minimum. Ja nie będę tego robił bo ciężko mi to zrobić na komputerze.
Teraz po prostu wstawiamy krańce przedziału i ekstrema funkcji do wzoru i sprawdzamy dla jakiego argumentu wartość będzie największa.
[tex]f(-5)=\frac13(-5)^3+(-5)^2-8(-5)-8=-\frac{125}{3}+25+40-8=-\frac{125}{3}+\frac{75}{3}+\frac{120}{3}-\frac{24}{3} =\frac{46}{3}=15\frac13 \\f(3)=\frac13(3)^3+(3)^2-8(3)-8=9+9-24-8=18-32=-14 \\f(-4)=\frac13(-4)^3+(-4)^2-8(-4)-8=-\frac{64}{3}+16+32-8=-\frac{64}{3}+\frac{48}{3}+\frac{96}{3}-\frac{24}{3}=\frac{56}{3}=18\frac{2}{3} \\f(2)=\frac13(2)^3+(2)^2-8(2)-8=\frac{8}{3}+4-16-8=\frac83+\frac{12}{3}-\frac{48}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{52}{3}=-17\frac{1}{3}[/tex]
Odp. Funkcja przyjmuje wartość największą [tex]18\frac23[/tex] dla x=-4. Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą [tex]-17\frac13[/tex] dla x=2.