W trójkącie równobocznym ABC punkt D dzieli bok AC w sposób, że
AD : DC = 1 : 2. Wiedząc, że boki trójkąta mają 3 cm, oblicz:
1. Pole trójkąta DBC.
2. Długość boku BD.
3. Sinus kąta DBC.
Wykonujemy rysunek poglądowy.
Jako, że AD : DC = 1 : 2 i |AC| = 3cm, to |AD| = 1cm i |DC| = 2cm.
Jako, że trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym, to wszystkie jego kąty wewnętrzne mają po 60°.
Pole ΔDBC możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
[tex]P=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]
[tex]b,\ c[/tex] - boki trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - miara kąta pomiędzy bokami [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex]
Podstawiamy i obliczamy pole:
[tex]b=2cm,\ c=3cm,\ \alpha=60^o\to\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\P=\dfrac{1}{2\!\!\!\!\diagup_1}\cdot2\!\!\!\!\diagup^1\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\\\\\huge\boxed{P_{\Delta DBC}=\dfrac{3\sqrt3}{2}cm^2}[/tex]
Długość szukanego odcinka obliczymy korzystając z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - miara kąta leżącego naprzeciw boku [tex]a[/tex]
Podstawiamy i obliczamy długość odcinka:
[tex]a=|BD|,\ b=3cm,\ c=1cm,\ \alpha=60^o\to\cos60^o=\dfrac{1}{2}\\\\a^2=3^2+1^2-2\!\!\!\!\diagup^1\cdot3\cdot1\cdot\dfrac{1}{2\!\!\!\!\diagup_1}\\\\a^2=9+1-3\\\\a^2=7\to a=\sqrt7(cm)\\\\\huge\boxed{|BD|=\sqrt7cm}[/tex]
Skorzystamy z obliczonego pola trójkąta DBC, z obliczonej długości odcinka BD oraz ze wzoru na pole trójkąta użytego w pkt. 1.
Podstawiamy:
[tex]P=\dfrac{3\sqrt3}{2}cm^2,\ b=\sqrt7cm,\ c=3cm\\\\\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt7\cdot3\cdot\sin\angle DBC=\dfrac{3\sqrt3}{2}\qquad|\cdot\dfrac{2}{3}\\\\\sqrt7\sin\angle DBC=\sqrt3\qquad|\cdot\sqrt7\\\\7\sin\angle DBC=\sqrt{21}\qquad|:7\\\\\huge\boxed{\sin\angle DBC=\dfrac{\sqrt{21}}{7}}[/tex]
