Odpowiedź:
A. (x - 3)² + (y + 5)² = 100
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie okręgu:
(x - a)² + (y - b)² = r²
S(a, b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, jeżeli odległość między ich środkami jest równa sumie długości promieni tych okręgów.
O₁(S₁, r₁), O₂(S₂, r₂)
|S₁S₂| = r₁ + r₂
Dwa okręgi są styczne wewnętrznie, jeżeli odległość między ich środkami jest równa wartości bezwzględnej różnicy długości promieni tych okręgów.
O₁(S₁, r₁), O₂(S₂, r₂)
|S₁S₂| = |r₁ - r₂|
Jeżeli |S₁S₂| > r₁ + r₂, to okręgi są rozłączne zewnętrznie.
Jeżeli |S₁S₂| < |r₁ - r₂|, to okręgi są rozłączne wewnętrznie.
Jeżeli |r₁ - r₂| < |S₁S₂| < r₁ + r₂, to okręgi przecinają się.
Mamy dany okrąg:
(x + 6)² + (y - 7)² = 25
Z równania odczytujemy środek okręgu i długość promienia:
S₁(-6, 7), r₁ = √25 = 5
Bierzemy okręgi z podpunktów. Odczytujemy z równania okręgu środek i promień. Następnie badamy czy okręgi są styczne.
Do obliczenia odległości między środkami skorzystamy ze wzoru na długość odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A),\ B(x_B,\ y_B)\\\\|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
A.
(x - 3)² + (y + 5)² = 100
S₂(3, -5), r₂ = √100 = 10
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(3-(-6))^2+(-5-7)^2}=\sqrt{9^2+(-12)^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}\\|S_1S_2|=15[/tex]
[tex]r_1+r_2=5+10=15[/tex]
[tex]|S_1S_2|=r_1+r_2[/tex]
Okręgi są styczne zewnętrznie.
B.
(x - 2)² + (y + 4)² = 50
S₂(2, -4), r₂ = √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(2-(-6))^2+(-4-7)^2}=\sqrt{8^2+(-11)^2}=\sqrt{64+121}=\sqrt{185}\\\\r_1+r_2=5+5\sqrt2\\\\|S_1S_2| > r_1+r_2[/tex]
Okręgi są rozłączne zewnętrznie.
C.
(x - 5)² + (y - 1)² = 75
S₂(5, 1), r₂ = √75 = √(25 · 3) = √25 · √3 = 5√3
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(5-(-6))^2+(1-7)^2}=\sqrt{11^2+(-8)^2}=\sqrt{121+64}=\sqrt{185}\\\\r_1+r_2=5+5\sqrt3 > \sqrt{185}\\|r_1-r_2|=|5-5\sqrt3|=5\sqrt3-5 < \sqrt{185}\\\\|r_1-r_2| < |S_1S_2| < r_1+r_2[/tex]
Okręgi przecinają się.
D.
(x - 4)² + (y + 1)² = 125
S₂(4, -1), r₂ = √125 = √(25 · 5) = √25 · √5 = 5√5
[tex]|S_1S_2|=\sqrt{(4-(-6))^2+(-1-7)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}\\=\sqrt{4\cdot41}=\sqrt4\cdot\sqrt{41}=2\sqrt{41}\\\\r_1+r_2=5+5\sqrt5 > 2\sqrt{41}\\|r_1-r_2|=|5-5\sqrt5|=5\sqrt5-5 < \2\sqrt{41}\\\\|r_1-r_2| < |S_1S_2| < r_1+r_2[/tex]
Okręgi przecinają się.
