Symetralna to prosta prostopadla do odcinka, przechodzaca przez jego srodek.
1) Wyznaczamy rownanie prostej przechodzacej przez punkty A(1, 3) i B(-3, -4)
[tex]\left \{ {{3=a+b} \atop {-4=-3a+b /*(-1)}} \right. \\+\left \{ {{3=a+b} \atop {4=3a-b}} \right. \\3+4=a+3a\\7=4a /:4\\\frac74=a[/tex]
[tex]3=\frac74+b /-\frac74\\\frac{12}4-\frac74=b\\\frac54=b[/tex]
[tex]y=\frac74x+\frac54\\\\y=\frac{7x+5}4[/tex]
2) Wyznaczamy srodek odcinka A i B
[tex]S=(\frac{1-3}2; \frac{3-4}2)\\S=(\frac{-2}2; \frac{-1}2)\\S=(-1; -\frac12)[/tex]
3) Wyznaczamy wspolczynnik kierunkowy symetralnej.
Proste sa prostopadle wtedy, kiedy iloczyn ich wspolczynnikow kierunkowych jest rowny -1.
[tex]a_1*a_2=-1\\\frac74*a_2=-1 /*\frac47\\a_2=-\frac47[/tex]
4) Wyznaczamy rownanie prostej o wspolczynniku kierunkowym a2 przechodzacej przez punkt S
[tex]-\frac12=-\frac47*(-1)+b\\\\-\frac12=\frac47+b /-\frac47\\\\-\frac{7}{14}-\frac8{14}=b\\\\-\frac{15}{14}=b\\b=-1\frac1{14}\\\\\\y=-\frac47x-1\frac1{14}\\\\y=-\frac47x-\frac{15}{14}\\y=\frac{-8x-15}{14}\\y=\frac{-(8x+15)}{14}\\y=-\frac{8x+15}{14}[/tex]
[tex]A = (1,3) \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ A_{x}= 1, \ \ A_{y} = 3\\B = (-3,-4) \ \ \rightarrow \ \ B_{x} = -3, \ \ B_{y} = -4[/tex]
Symetralną odcinka AB jest prosta o równaniu:
[tex](2x-A_{x}-B_{x})(A_{x}-B_{x})+(2y-A_{y}-B_y})(A_{y}-B_{y}) = 0[/tex]
[tex](2x-1-(-3))(1-(-3))+(2y-3-(-4))(3-(-4) = 0\\\\(2x-1+3)(1+3)+(2y-3+4)(3+4) = 0\\\\(2x+2)\cdot4 +(2y+1)\cdot7 = 0\\\\8x+8 +14y+7 = 0\\\\\boxed{8x+14y+15 = 0} \ - \ postac \ ogolna\\\\14y=-8x-15 \ \ /:14\\\\\boxed{y = -\frac{8}{14}x - \frac{15}{14}} \ - \ postac \ kierunkowa[/tex]
