Znajdźmy cosinus i tangens. W tym celu wykorzystamy jedynkę trygonometryczną i związek między tangensem a sinusem i cosinusem.
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\(\frac{3}{7})^2+\cos^2\alpha=1\\\frac{9}{49}+\cos^2\alpha=1\\\cos^2\alpha=1-\frac{9}{49}\\\cos^2\alpha=\frac{40}{49}\\\cos\alpha=\sqrt{\frac{40}{49}}\vee\cos\alpha=-\sqrt{\frac{40}{49}}\\\cos\alpha=\frac{2\sqrt{10}}{7}\vee\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{10}}{7}[/tex]
a) alfa jest kątem ostrym, więc cosinus i tangens są dodatnie
[tex]\cos\alpha=\frac{2\sqrt{10}}{7}\\\text{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}}=\frac{3}{7}*\frac{7}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{2\sqrt{10}}[/tex]
Wartość danego wyrażenia wynosi:
[tex]\frac{5}{3}\sin\alpha+3\frac{1}{2}\cos\alpha-\text{tg}^2\alpha=\frac{5}{3}*\frac{3}{7}+\frac{7}{2}*\frac{2\sqrt{10}}{7}-(\frac{3}{2\sqrt{10}})^2=\frac{5}{7}+\sqrt{10}-\frac{9}{40}=\\=\frac{200}{280}+\sqrt{10}-\frac{63}{280}=\frac{137}{280}+\sqrt{10}[/tex]
b) alfa jest kątem rozwartym, więc cosinus i tangens są ujemne
[tex]\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{10}}{7}\\\text{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{7}}{-\frac{2\sqrt{10}}{7}}=\frac{3}{7}*(-\frac{7}{2\sqrt{10}})=-\frac{3}{2\sqrt{10}}[/tex]
Wartość danego wyrażenia wynosi:
[tex]\frac{5}{3}\sin\alpha+3\frac{1}{2}\cos\alpha-\text{tg}^2\alpha=\frac{5}{3}*\frac{3}{7}+\frac{7}{2}*(-\frac{2\sqrt{10}}{7})-(-\frac{3}{2\sqrt{10}})^2=\frac{5}{7}-\sqrt{10}-\frac{9}{40}=\\=\frac{200}{280}-\sqrt{10}-\frac{63}{280}=\frac{137}{280}-\sqrt{10}[/tex]
