Odpowiedź:
Pole wycinka kołowego jest proporcjonalne do kąta środkowego zawartego między promieniami koła - dla kąta 360 jest to całe pole koła, dla kąta 90º jest to 90/360 = 1/4 = πr²/4,
dla 60º = 60/360 = 1/6 = πr²/6, dla kąta 30º = 30/360 = 1/12 = πr²/12
a)
Pole odcinka kołowego jest równe polu wycinka koła pomniejszonemu o pole trójkąta równoramiennego o ramionach r i kącie zawartym między ramionami podanym w treści zadania.
Pole odcinka kołowego dla kąta 90º jest równe πr²/4 - (r/√2)² =
= (144/4)π - 144/2 = 36π - 72 = 36(π - 2)
b)
Dla kąta 60º. Pole wycinka kołowego jest równe πr²/6.
Pole trójkąta, które należy odjąć od pola wycinka kołowego, jest polem trójkąta równobocznego o boku a = r to pole trójkąta
P = r²√3/4
Pole odcinka kołowego dla kąta 60º jest równe πr²/6 - r²√3/4 =
= (144/6)π - 144√3/4 = 24π - 36√3 = 12(2π - 3√3)
c)
Dla kąta 30º, pole trójkąta które będziemy odejmować od wycinka kołowego, najlepiej będzie obliczyć z takiego uniwersalnego wzoru na pole trójkąta:
"Pole każdego trójkąta możemy obliczyć z połowy (1/2) iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi zawartego":
P = (1/2)r•r•sin 30º = (1/2)r²•1/2 = r²/4 to
pole odcinka kołowego jest równe
πr²/12 - r²/4 = 144π/12 - 144/4 = 12π - 36 = 12(π- 3)
Szczegółowe wyjaśnienie:
Pole wycinka kołowego jest proporcjonalne do kąta środkowego zawartego między promieniami koła - dla kąta 360 jest to całe pole koła, dla kąta 90º jest to 90/360 = 1/4 = πr²/4,
dla 60º = 60/360 = 1/6 = πr²/6, dla kąta 30º = 30/360 = 1/12 = πr²/12
a) 90º
- Pole koła πr² = π•12² = 144π
- Pole wycinka koła opartego na kącie środkowym 90º
jest równe = (144/4)π = 36π
- Pole odcinka koła jest równe polu wycinka koła minus (odjąć) pole
trójkąta równoramiennego, gdzie ramionami trójkąta jest promień
r = 12. Dla kąta 90º jest to pole kwadratu o przekątnej p = r, a więc o boku a:
p = r = a√2 = r /:√2 to a = r/√2 to
Pole kwadratu = a² = r²/2 = 144/2 = 72
Odpowiedź:
Pole odcinka kołowego jest równe polu wycinka koła pomniejszonemu o pole trójkąta równoramiennego o ramionach r i kącie zawartego między ramionami podanego w treści zadania.
Pole odcinka kołowego dla kąta 90º jest równe πr²/4 - (r/√2)² =
= (144/4)π - 144/2 = 36π - 72 = 36(π - 2)
b)
Dla kąta 60º. Pole wycinka kołowego jest równe πr²/6.
Pole trójkąta, które należy odjąć od pola wycinka kołowego, jest polem trójkąta równobocznego o boku a = r to pole trójkąta
P = r²√3/4
Pole odcinka kołowego dla kąta 60º jest równe πr²/6 - r²√3/4 =
= (144/6)π - 144√3/4 = 24π - 36√3 = 12(2π - 3√3)
c)
Dla kąta 30º, pole trójkąta które będziemy odejmować od wycinka kołowego, najlepiej będzie obliczyć z takiego uniwersalnego wzoru na pole trójkąta:
"Pole każdego trójkąta możemy obliczyć z połowy (1/2) iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi zawartego":
P = (1/2)r•r•sin 30º = (1/2)r²•1/2 = r²/4 to pole odcinka kołowego jest
równe πr²/12 - r²/4 = 144π/12 - 144/4 = 12π - 36 = 12(π- 3)
