👤

Punkty A, B należące do okręgu o środku O i promieniu 12 wyznaczają kąt AOB. Oblicz pole odcinka kołowego wyznaczonego przez ten kąt, jeśli:
a) AOB = 90 b) AOB = 60° c) AOB = 30°​


Odpowiedź :

Odpowiedź:

Pole wycinka kołowego jest proporcjonalne do kąta środkowego zawartego między promieniami koła - dla kąta 360 jest to całe pole koła, dla kąta 90º jest to  90/360 = 1/4 = πr²/4,

dla 60º = 60/360 = 1/6 = πr²/6,  dla kąta 30º = 30/360 = 1/12 = πr²/12

a)

Pole odcinka kołowego jest równe polu wycinka koła pomniejszonemu o pole trójkąta równoramiennego o ramionach r  i kącie zawartym między ramionami podanym w treści zadania.

Pole odcinka kołowego dla kąta 90º jest równe  πr²/4 - (r/√2)² =

= (144/4)π - 144/2 = 36π - 72 = 36(π - 2)

b)

Dla kąta 60º. Pole wycinka kołowego jest równe  πr²/6.

Pole trójkąta, które należy odjąć od pola wycinka kołowego, jest polem trójkąta równobocznego o boku a = r  to  pole trójkąta

P = r²√3/4

Pole odcinka kołowego dla kąta 60º jest równe   πr²/6 - r²√3/4 =

= (144/6)π - 144√3/4 = 24π - 36√3 = 12(2π - 3√3)

c)

Dla kąta 30º, pole trójkąta które będziemy odejmować od wycinka kołowego, najlepiej będzie obliczyć z takiego uniwersalnego wzoru na pole trójkąta:

"Pole każdego trójkąta możemy obliczyć z połowy (1/2) iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi zawartego":

P = (1/2)rrsin 30º = (1/2)r²•1/2 = r²/4  to  

pole odcinka kołowego jest równe  

πr²/12 - r²/4 = 144π/12 - 144/4 = 12π - 36 = 12(π- 3)

Szczegółowe wyjaśnienie:

Pole wycinka kołowego jest proporcjonalne do kąta środkowego zawartego między promieniami koła - dla kąta 360 jest to całe pole koła, dla kąta 90º jest to  90/360 = 1/4 = πr²/4,

dla 60º = 60/360 = 1/6 = πr²/6,  dla kąta 30º = 30/360 = 1/12 = πr²/12

a)  90º

- Pole koła πr² = π•12² = 144π

- Pole wycinka koła opartego na kącie środkowym 90º

jest równe = (144/4)π = 36π

- Pole odcinka koła jest równe polu wycinka koła minus (odjąć) pole

trójkąta równoramiennego, gdzie ramionami trójkąta jest promień

r = 12. Dla kąta 90º jest to pole kwadratu o przekątnej  p = r, a więc o boku   a:

p = r = a√2 = r      /:√2    to    a = r/√2   to    

Pole kwadratu = a² = r²/2 = 144/2 = 72

Odpowiedź:

Pole odcinka kołowego jest równe polu wycinka koła pomniejszonemu o pole trójkąta równoramiennego o ramionach r  i kącie zawartego między ramionami podanego w treści zadania.

Pole odcinka kołowego dla kąta 90º jest równe  πr²/4 - (r/√2)² =

= (144/4)π - 144/2 = 36π - 72 = 36(π - 2)

b)

Dla kąta 60º. Pole wycinka kołowego jest równe  πr²/6.

Pole trójkąta, które należy odjąć od pola wycinka kołowego, jest polem trójkąta równobocznego o boku a = r  to  pole trójkąta

P = r²√3/4

Pole odcinka kołowego dla kąta 60º jest równe   πr²/6 - r²√3/4 =

= (144/6)π - 144√3/4 = 24π - 36√3 = 12(2π - 3√3)

c)

Dla kąta 30º, pole trójkąta które będziemy odejmować od wycinka kołowego, najlepiej będzie obliczyć z takiego uniwersalnego wzoru na pole trójkąta:

"Pole każdego trójkąta możemy obliczyć z połowy (1/2) iloczynu jego dwóch boków i sinusa kąta między nimi zawartego":

P = (1/2)rrsin 30º = (1/2)r²•1/2 = r²/4  to   pole odcinka kołowego jest

równe   πr²/12 - r²/4 = 144π/12 - 144/4 = 12π - 36 = 12(π- 3)

On Studier: Inne Pytanie