Nierówność - dowodzenie.
- Mamy założenie [tex]a,b \in \mathbb{R}; a\le b[/tex]
- Przekształcamy nierówność:
[tex](a-b)^3 \ge 4(a^3 - b^3)\\(a-b)^3 \ge 4 (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\(a-b)^2 \le 4(a^2 + ab+b^2)\\a^2 - 2ab+b^2 \le 4a^2 + 4ab +4b^2\\0 \le 3a^2 + 3b^2 + 6ab\\0 \le 3(a+b)^2[/tex]
w szczególności zmiana znaku między drugą a trzecią linijką wynika z faktu, że wyrażenie [tex]a-b < 0[/tex] (z założenia). - Finalnie mamy na końcu zawsze prawdziwą nierówność (kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny).
- Jednak należy dodatkowo rozwiązać przypadek [tex]a=b[/tex] (bo dzielimy w punkcie drugim przez wyrażenie [tex](a-b)[/tex]
[tex]0^3 \ge 4*0\\0 \ge 0[/tex]
jest spełnione. - Co kończy dowód.
Należy pamiętać, że wartość dzielenia przez zero jest nieokreślona - gdy w trakcie rozwiazywania zadań dzielimy przez jakąś wartość, należy sprawdzić, co się stanie, gdy będzie ona równa zero. Dodatkowo w przypadku nierówności warto sprawdzić znak wyrażenia przez które mnożymy/dzielimy (bo zmienia się zwrot nierówności).
