Odpowiedź:
[tex]\frac{3}{2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zauważmy, że w liczniku jest suma n+1 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
[tex]a_1=1\qquad q=3\\a_n=a_1*q^{n-1}\\a_n=3^{n-1}\\a_{n+1}=3^n[/tex]
Zatem
[tex]S_{n+1}=\frac{1*(1-3^{n+1})}{1-3}=\frac{3^{n+1}-1}{2}[/tex]
Podstawmy to wyrażenie do granicy i ją policzmy.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1+3+9+...+3^n}{(\sqrt3)^{2n}+5}= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n+1}-1}{2}}{3^n+5}=\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}-1}{2*3^n+10}=\\=\lim_{n \to \infty} \frac{3-\frac{1}{3^n}}{2+\frac{10}{3^n}}=\frac{3}{2}[/tex]
