Odpowiedź:
Pole powierzchni [tex]\frac{675}{4}\pi[/tex]
Objętość [tex]\frac{3375\sqrt{2} }{16} \pi[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Stereometria
Przekrój osiowy walca to prostokąt (patrz rysunek).
Zauważmy, że, jeżeli przekątna tworzy ze średnicą podstawy kąt [tex]45^\circ[/tex], to na górze również jest taki kąt. A więc średnica oraz wysokość musza być równej długości.
[tex]H=d=x[/tex]
Z Pitagorasa:
[tex]x^2+x^2=15^2\\2x^2=225\\x^2=\frac{225}{2}\\ x=\frac{15}{\sqrt{2} }=\frac{15\sqrt{2} }{2}[/tex]
Wysokość walca wynosi [tex]H=\frac{15\sqrt{2} }{2}[/tex].
Promień podstawy, czyli połowa średnicy, wynosi [tex]r=\frac{15\sqrt{2} }{4}[/tex].
Obliczamy pole podstawy:
[tex]P_p=\pi r^2=\pi\cdot(\frac{15\sqrt{2} }{4} )^2=\frac{225\cdot2}{16}\pi=\frac{450}{16}\pi[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]P_b=2\pi r\cdot H=\pi\cdot2\cdot\frac{15\sqrt{2} }{4}\cdot\frac{15\sqrt{2} }{2}=\frac{225}{2}\pi[/tex]
Obliczamy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2P_p+P_b=2\cdot\frac{450}{16}\pi+\frac{225}{2}\pi=\frac{225}{4}\pi+\frac{450}{4}\pi=\frac{675}{4}\pi[/tex]
Obliczamy objętość:
[tex]V=P_p\cdot H=\frac{225}{8}\pi\cdot\frac{15\sqrt{2} }{2}=\frac{3375\sqrt{2} }{16}\pi[/tex]
