Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
xsinα - ycosα = sinα
xcosα + ysinα = 1
podnoszą oba równania stronami do kwadratu otrzymamy:
(xsinα - ycosα)² = sin²α i dalej:
x²sin²α - 2xy*sinα*cosα + y²cos²α = sin²α (1)
(xcosα + ysinα)² = 1 i dalej:
x²cos²α + 2xy*cosα*sinα + y²sin²α = 1 (2)
dodajac stronami równania (1) + (2) otrzymamy
x²sin²α - 2xy*sinα*cosα + y²cos²α + x²cos²α + 2xy*cosα*sinα + y²sin²α =
sin²α + 1
redukując:
x²sin²α + y²cos²α + x²cos²α + y²sin²α = sin²α + 1
x²*(sin²α+cos²α) + y²*(sin²α+cos²α) = sin²α + 1
ponieważ: sin²α + cos²α = 1 (jedynka trygonometryczna) czyli:
x² + y² = sin²α + 1
wartość najmniejszą x² + y² = 1 otrzymamy dla sin² α = 0°
czyli dla α = 0°
wartość największą x² + y² = 1+1 = 2, otrzymamy dla sin² α = 1
czyli dla α = 90°
jeśli x² + y² = 1,5 to wtedy:
otrzymamy dla
sin²α + 1 = 1,5
sin²α = 1,5-1 = 0,5 = 1/2
sinα = √(1/2) = 1/√2 = √2/2
czyli wtedy α = 45°
