👤

Trzy kolejne liczby 3,x,y tworzą ciąg arytmetyczny a trzy kolejne liczby 3, x-y tworzą ciąg geometryczny .wyznacz x i y

Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]\left \{ {{x=-3-3\sqrt2} \atop {y=-9-6\sqrt2}} \right. \vee\left \{ {{x=-3+3\sqrt2} \atop {y=-9+6\sqrt2}} \right.[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ciąg 3, x, y jest arytmetyczny, więc można go zapisać za pomocą różnicy r:

3, 3+r, 3+2r

Ciąg 3, x, -y jest geometryczny. Podstawmy x=3+r i y=3+2r.

3, 3+r, -3-2r

Z tw. o sąsiadach dla ciągu geometrycznego:

[tex](3+r)^2=3*(-3-2r)\\9+6r+r^2=-9-6r\\r^2+12r+18=0\\\Delta=12^2-4*1*18=144-72=72\\\sqrt\Delta=\sqrt{72}=\sqrt{36*2}=6\sqrt2\\r_1=\frac{-12-6\sqrt2}{2}=-6-3\sqrt2\\r_2=\frac{-12+6\sqrt2}{2}=-6+3\sqrt2\\x_1=3+r_1=3-6-3\sqrt2=-3-3\sqrt2\\y_1=3+2r_1=3+2*(-6-3\sqrt2)=3-12-6\sqrt2=-9-6\sqrt2\\x_2=3+r_2=3-6+3\sqrt2=-3+3\sqrt2\\y_2=3+2r_2=3+2*(-6+3\sqrt2)=3-12+6\sqrt2=-9+6\sqrt2[/tex]

Ostatecznie mamy dwa rozwiązania:

[tex]\left \{ {{x=-3-3\sqrt2} \atop {y=-9-6\sqrt2}} \right. \vee\left \{ {{x=-3+3\sqrt2} \atop {y=-9+6\sqrt2}} \right.[/tex]