Odpowiedź:
zad 1
a)
f(x) = (3x + a)/(x + b)
Przedstawiona funkcja jest funkcją homograficzną postaci
f(x) = (ax + b)/(cx + d) gdzie :
a = 3 , b = a , c = 1 , d = b
x₀ - miejsce zerowe = - 1
y₀ - punkt przecięcia wykresu z osią OY = (0, 2 )
x₀ = -b/a = - a/3
- a/3= - 1
- a = - 3
a = 3
y₀ = b/a = a/b= 3/b
3/b= 2
2b = 3
b = 3/2
f(x) = (3x + 3)/(x + 3/2)
b)
f(x - 1) = [3(x - 1) + 3]/[x - 1 + 3/2] = (3x- 3 + 3)/(x + 1/2) = 3x/(x + 1/2)
f(x) < f(x - 1)
(3x + 3)/(x + 3/2) < 3x/(x + 1/2)
(3x + 3)/(x + 3/2) - 3x/(x + 1/2) < 0
[(3x + 3)(x + 1/2) -3x(x + 3/2)]/[(x + 3/2)(x + 1/2)] < 0
(3x² + 3x + 3/2x + 3/2 - 3x² - 9/2x]/(x²+ 3/2x + 1/2x + 3/4) < 0
[(3 3/2)x - 9/2x + 3/2]/(x² + 2x + 3/4) < 0
{(3 3/2)x - (4 1/2)x + 3/2]/(x² + 2x + 3/4) < 0
[4 1/2)x - (4 1/2)x + 3/2)]/(x² + 2x + 3/4) < 0
(3/2)/(x² + 2x + 3/4) < 0
Ponieważ 3/2 > 0 , więc :
x² + 2x + 3/4 < 0
a = 1 , b = 2 , c = 3/4
Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * 3/4 = 4 - 3 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( - 2 - 1)/2 = - 3/2 = - 1 1/2
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 2 + 1)/2 = - 1/2
a > 0 więc ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX
x ∈ ( - 1 1/2 , - 1/2 )
