Odpowiedź:
Na koniec zestawimy wszystkie wyniki na pola graniastosłupów, dla porównania i wyznaczenia graniastosłupa o najmniejszym polu:
A.
Pc = 27√3/4 + 45, gdzie √3 ≅ 1,7321; to Pc = 11,6917 + 45 ≅ 56,6917
B. Pc = 56
C. Pc = 12√3 + 60 to Pc = 20,7852 + 60 ≅ 80,7852
D. Pc = 8√3 + 36 to Pc = 13,8568 + 36 ≅ 49,8568
__________________________________
Odpowiedź:
Najmniejsze pole powierzchni ma graniastosłup
D. Pc = 8√3 + 36 ≅ 49,8568
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeśli w nazwie graniastosłupa czy ostrosłupa występuje "prawidłowy", to oznacza, że podstawą graniastosłupa (czy ostrosłupa) jest wielokąt foremny, czyli równoboczny - w naszym zadaniu jest to trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny (równoboczny).
A.
Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku a = 3
Trójkąt równoboczny (jak sama nazwa wskazuje) ma wszystkie boki równe a = 3, a więc i wszystkie kąty równe α = 60º
Wysokość trójkąta h dzieli podstawę trójkąta na połowę i kąt przy
wierzchołku na dwa równe kąty po 30º.
Z funkcji h/a = sin 60º = cos 30º = √3/2 /•a to h = a√3/2
Wychodząc z klasycznego wzoru na pole trójkąta i podstawiając za h
mamy:
Pole trójkąta równobocznego P = a•h/2 = a•(a√3/2)/2 = a²√3/4
[Dla bardziej przejrzystego zapisu do rachunków zapiszemy ten wzór w nieco innej postaci: Pp = a•(a√3/2)/2 = a•(a√3)•(1/2)•(1/2) = a²√3/4]
Pole całkowite graniastosłupa Pc sklada się z podstawy dolnej i górnej oraz trzech ścian bocznych (prostokątów) o wymiarach 3 x 5
to Pc = 3P + 3•(3•5) = 3(a²√3/4) + 45 = 3(3²√3/4) + 45 = 27√3/4 + 45
to Pc = 27√3/4 + 45
B.
Podstawą graniastosłupa jest kwadrat o boku a = 2 (pole kwadratu jest równe 2•2 = 4), ściany boczne są prostokątami o wymiarze 2 x 6.
Pole całkowite Pc składa się z podstawy dolnej i górnej oraz czterech ścian bocznych, to
Pc = 2•4 + 4•2•6 = 8 + 48 = 56
C.
Jeśli cyrklem zatoczymy pełny okrąg, a na obwodzie tego okręgu będziemy odkładać tym cyrklem promienie tego okręgu - to wyjdzie nam, że odłożymy dokładnie 6 (słownie:, sześć) promieni tego okręgu - jednocześnie w ten sposób wykonamy konstrukcję sześciokąta foremnego (równobocznego), który składa się z 6 -sciu trójkątów równobocznych.
W przykładzie A. wyprowadziliśmy już wzór na pole P trójkąta równobocznego:
Pole trójkąta równobocznego P = a•h/2 = a•(a√3/2)/2 = a²√3/4
Pole podstawy graniastosłupa Pp = 6P = 6a²√3/4, gdzie a = 2
Pole całkowite Pc graniastosłupa składa się z podstawy dolnej i górnej oraz 6 - ściu scian bocznych (prostokątów) o wymiarach 2 x 5,
to
Pc = 2Pp + 6•(2•5) = 2•(6a²√3/4) + 60 = 2•(6•2²√3/4) + 60 =
= 2•(6√3) + 60 [licznik ułamka 2² = 4 skrócono z mianownikiem 4]
to Pc = 12√3 + 60
D.
Na pole całkowite Pc graniastosłupa składa się podstawa dolna i górna [znany już nam wzór na pole podstawy P - trójkąta równobocznego P = a²√3/4, gdzie a = 4],
oraz trzech ścian bocznych o wymiarach 4 x 3 to
Pc = 2•(a²√3/4) + 3•(4•3) = 2•(4²√3/4) + 36 = 2•(16√3/4) + 36 to
Pc = 2•(4√3) + 36 = 8√3 + 36
_______________________________
Na koniec zestawimy wszystkie wyniki na pola graniastosłupów, dla porównania i wyznaczenia graniastosłupa o najmniejszym polu:
A.
Pc = 27√3/4 + 45, gdzie √3 ≅ 1,7321; to Pc = 11,6917 + 45 ≅ 56,6917
B. Pc = 56
C. Pc = 12√3 + 60 to Pc = 20,7852 + 60 ≅ 80,7852
D. Pc = 8√3 + 36 to Pc = 13,8568 + 36 ≅ 49,8568
__________________________________
Odpowiedź:
Najmniejsze pole powierzchni ma graniastosłup
D. Pc = 8√3 + 36 ≅ 49,8568
