Odpowiedź :
Założenie:
[tex]a_1,\ a_2,\ ...,\ a_{2n-1},\ a_{2n}[/tex] - ciąg geometryczny (indeks ostatniego wyrazu to 2n, bo ciąg ma mieć parzystą liczbę wyrazów)
[tex]a_1\neq0,\ q\neq0[/tex]
Teza:
[tex]\frac{a_2+a_4+...+a_{2n-2}+a_{2n}}{a_1+a_3+...+a_{2n-3}+a_{2n-1}}=q[/tex]
Dowód:
Ponieważ ciąg jest geometryczny, to zachodzi związek
[tex]a_{k+1}=a_k*q[/tex]
Zatem
[tex]a_2=a_1*q\\a_4=a_3*q\\\vdots\\a_{2n-2}=a_{2n-3}*q\\a_{2n}=a_{2n-1}*q[/tex]
Stąd
[tex]\frac{a_2+a_4+...+a_{2n-2}+a_{2n}}{a_1+a_3+...+a_{2n-3}+a_{2n-1}}=\frac{a_1*q+a_3*q+...+a_{2n-3}*q+a_{2n-1}*q}{a_1+a_3+...+a_{2n-3}+a_{2n-1}}=\\\\=\frac{q(a_1+a_3+...+a_{2n-3}+a_{2n-1})}{a_1+a_3+...+a_{2n-3}+a_{2n-1}}=q[/tex]
Uwaga:
- Przedostatnia równość wynika z wyciągnięcia q przed nawias.
- Ostatnia równość wynika ze skrócenia nawiasu z mianownikiem.
To kończy dowód.