1. Działania na potęgach. Własności:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\a^n:a^m=a^{n-m}\\(a^n)^m=a^{n\cdot m}\\a^{-1}=\frac{1}{a}\\ a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}[/tex]
a) [tex]3^6=3^{2\cdot3}=(3^2)^3=9^3=81\cdot9=729[/tex]
b) [tex]\frac{2^{14}\cdot2^5}{2^{10}}=\frac{2^{14+5}}{2^{10}}=2^{19}:2^{10}=2^{19-10}=2^9=512[/tex]
c) [tex]\sqrt{3}^4=(3^{\frac{1}{2}})^4=3^{\frac{1}{2}\cdot4}=3^2=9[/tex]
d) [tex]0,01^{-1}=(\frac{1}{100})^{-1}=100[/tex]
e) [tex]27^{\frac{2}{3}}+32^{\frac{2}{5}}=3^{3\cdot\frac{2}{3}}+2^{5\cdot\frac{2}{5}}=3^2+2^2=9+4=13[/tex]
2. Zadanie polega na zamianie wszystkich liczb na potęgę o podstawie 2 i porównaniu stopni potęg.
[tex]2^{15}[/tex]
[tex]4^{25}=2^{2\cdot25}=2^{50}[/tex]
[tex]8^7=2^{3\cdot7}=2^{21}[/tex],
[tex]16^8=2^{4\cdot8}=2^{32}[/tex]
Kolejność rosnąca to: [tex]2^{15},8^7,16^8,4^{25}[/tex]
3.
a) [tex]8^\frac{5}{3}:8^{\frac{2}{3} }=8^{\frac{5}{3}-\frac{2}{3}}=8^1=8[/tex]
b) [tex](9^{\frac{2}{3}}\cdot9^{\frac{1}{4} }):9^{\frac{5}{12} }=9^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-\frac{5}{12} }=9^{\frac{8}{12}+\frac{3}{12}-\frac{5}{12}}=9^{\frac{6}{12}}=9^{\frac{1}{2}}=\sqrt{9}=3[/tex]
c) przypomnij sobie wzory skróconego mnożenia
[tex](3^{\sqrt{5}-\sqrt{3} })^{\sqrt{5}+\sqrt{3} }=3^{(\sqrt{5}-\sqrt{3} )(\sqrt{5}+\sqrt{3} )}=3^{5-3}=3^2=9[/tex]
4. Przypomnij sobie przesuwanie funkcji o wektor [tex]\overset{\large\rightharpoonup}{\small{u}}=[p,q][/tex] i jakie to ma odwzorowanie we wzorze funkcji.
a) [tex]y=4^x+9[/tex] 9 jednostek w górę
b) [tex]y=4^{x+5}[/tex] 5 jednostek w lewo
c) [tex]y=4^{x-7}-11[/tex] 7 jednostek w prawo i 11 jednostek w dół
5. Definicja logarytmu [tex]log_ab=c\iff a^c=b[/tex]
a)
[tex]log_216=x\\2^x=16=2^4\\x=4[/tex]
b)
[tex]log_{16}2=x\\16^x=2\\x=\frac{1}{4}[/tex]
c)
[tex]log_2\frac{1}{16}=x\\ 2^x=\frac{1}{16}\\ x=-4[/tex]
d)
[tex]log_{\frac{1}{16} }2=x\\(\frac{1}{16})^x=2\\ x=-\frac{1}{4}[/tex]
e)
[tex]log_{0,5}16=x\\(\frac{1}{2}) ^x=16\\x=-4[/tex]
f)
[tex]log_{16}\sqrt{2}=x\\ 16^x=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\\ 2^{4x}=2^{\frac{1}{2} }\\4x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{8}[/tex]
g)
[tex]log_{64}16=x\\64^x=16\\2^{6x}=2^4\\6x=4\\x=\frac{2}{3}[/tex]
i)
[tex]log_22=x\\2^x=2^1\\x=1[/tex]
j) Korzystamy z własności:
[tex]loga+logb=log(a\cdot b)[/tex]
[tex]loga-logb=log(a:b)[/tex]
[tex]3log2-log80+6log1=log2^3-log80+log1^6=log\frac{8}{80}\cdot1=log\frac{1}{10}=x\\ 10^x=\frac{1}{10}\\ x=-1[/tex]
