Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a)\ m\in\left(-\dfrac{1}{2},\ 1\right)}\\\boxed{m\in\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right)\ \cup\ (1,\ \infty)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rozwiązujemy układ równań w zależności od parametru [tex]m[/tex]:
[tex]\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}x+y=m+2\\2x-y=5m+1\end{array}\right}\\.\qquad3x=6m+3\qquad|:3\\.\qquad\boxed{x=2m+1}[/tex]
Podstawiamy do pierwszego równania:
[tex]2m+1+y=m+2\qquad|-2m-1\\\boxed{y=-m+1}[/tex]
Przechodzimy do podpunktów zadania:
[tex]a)\\\left\{\begin{array}{ccc}x>0\\y>0\end{array}\right\Rightarrow\left\{\begin{array}{ccc}2m+1>0&|-1\\-m+1>0&|-1\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}2m>-1&|:2\\-m>-1&|\cdot(-1)\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}m>-\dfrac{1}{2}\\m<1\end{array}\right\Rightarrow m\in\left(-\dfrac{1}{2},\ 1\right)[/tex]
[tex]b)\\[/tex]
Rozwiązania mają być różnych znaków, czyli ich iloczyn musi być ujemny. Stąd mamy równanie:
[tex](2m+1)(-m+1)<0\\^{m=-\frac{1}{2}}\qquad^{m=1}[/tex]
Współczynnik przy [tex]m^2[/tex] jest ujemny. Czyli ramiona paraboli skierowane w dół (patrz załącznik).
[tex]m\in\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right)\ \cup\ (1,\ \infty)[/tex]
