Ciąg x, y, 2 jest arytmetyczny, więc x i y można wyrazić za pomocą różnicy tego ciągu następująco:
[tex]y=2-r\\x=2-2r[/tex]
Zatem ciąg
[tex]2-2r,\ \frac{1}{2}, \ 2-r[/tex]
jest geometryczny.
Z tw. o sąsiadach dla ciągu geometrycznego:
[tex](2-2r)(2-r)=(\frac{1}{2} )^2\\4-2r-4r+2r^2=\frac{1}{4} \\2r^2-6r+4=\frac{1}{4} \ |*4\\8r^2-24r+16=1\\8r^2-24r+15=0\\\Delta=(-24)^2-4*8*15=576-480=96\\\sqrt\Delta=\sqrt{96}=\sqrt{16*6}=4\sqrt6\\r_1=\frac{24-4\sqrt6}{2*8}=\frac{24-4\sqrt6}{16}=\frac{6-\sqrt6}{4}\\r_2=\frac{24+4\sqrt6}{2*8}=\frac{24+4\sqrt6}{16}=\frac{6+\sqrt6}{4}[/tex]
Policzmy wartości x i y.
[tex]x_1=2-2r_1=2-2*\frac{6-\sqrt6}{4}=\frac{4}{2}-\frac{6-\sqrt6}{2}=\frac{-2+\sqrt6}{2}\\y_1=2-r_1=2-\frac{6-\sqrt6}{4}=\frac{8}{4}-\frac{6-\sqrt6}{4}=\frac{2+\sqrt6}{4}\\x_2=2-2r_2=2-2*\frac{6+\sqrt6}{4}=\frac{4}{2}-\frac{6+\sqrt6}{2}=\frac{-2-\sqrt6}{2}\\y_2=2-r_2=2-\frac{6+\sqrt6}{4}=\frac{8}{4}-\frac{6+\sqrt6}{4}=\frac{2-\sqrt6}{4}[/tex]
Ostatecznie mamy 2 rozwiązania:
[tex]\left \{ {{x=\frac{-2+\sqrt6}{2}} \atop {y=\frac{2+\sqrt6}{4}} \right.\vee\left \{ {{x=\frac{-2-\sqrt6}{2}} \atop {y=\frac{2-\sqrt6}{4}}} \right.[/tex]
