Odpowiedź:
[tex]$\lim_{x \to \infty}\frac{x \sin x!}{x^{2}+1}=0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$\lim_{x \to \infty}\frac{x \sin x!}{x^{2}+1}= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}\Big(\frac{\sin x!}{x} \Big)}{x^{2}\Big(1+\frac{1}{x^{2}} \Big)}=\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sin x!}{x} }{1+\frac{1}{x^{2}} }[/tex]
Mianownik dąży do [tex]1[/tex], a więc granica jest równoważna granicy:
[tex]$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x!}{x}[/tex]
Ta granica będzie zmierzać do [tex]0[/tex], gdyż zbiór wartości sinusa to [tex]\langle -1,1 \rangle[/tex], a mianownik dąży do [tex]\infty[/tex]. Liczba z podanego przedziału podzielona przez liczbę bardzo dużą jest bliska zeru.
