Odpowiedź:
[tex]$|P|=\frac{e^{2}+1}{e^{2}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rysunek w załączniku.
Najpierw obliczamy granice całkowania (jedną już mamy, to [tex]x=1[/tex]). Druga granica:
[tex]y=\ln x\\y=-2[/tex]
[tex]$\ln x=-2 \iff x=\frac{1}{e^{2}}[/tex]
Pole jest równe:
[tex]$|P|=\int\limits^{1}_{\frac{1}{e^{2}}} {\ln x+2} \, dx =\int\limits^{1}_{\frac{1}{e^{2}}} \ln x+2\int\limits^{1}_{\frac{1}{e^{2}}} dx=\int\limits^{1}_{\frac{1}{e^{2}}} \ln x+2x\Big|^{1}_{\frac{1}{e^{2}}}[/tex]
Pierwszą całkę można obliczyć przez części:
[tex]$\int {\ln x} \, dx =\left|\begin{array}{ccc}f=\ln x&dg= dx\\df=\frac{1}{x}\ dx&g=x\end{array}\right|=x \ln x-\int dx =x \ln x-x=x (\ln x-1)+C[/tex]
Zatem:
[tex]$|P|=x (\ln x-1) \Big|^{1}_{\frac{1}{e^{2}}}+2x\Big|^{1}_{\frac{1}{e^{2}}}=-1+\frac{3}{e^{2}} +2-\frac{2}{e^{2}}=1+\frac{1}{e^{2}} =\frac{e^{2}+1}{e^{2}}[/tex]
