Odpowiedź:
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne w punkcie [tex]P_{1}=(0,-\ln2)[/tex] równe [tex]-\ln^{2}2[/tex].
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]f(x,y)=2y \ln(2-x^{2})+y^{2}[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-4xy}{2-x^{2}}[/tex]
[tex]$\frac{\partial f}{\partial y}=2 \ln (2-x^{2})+2y[/tex]
Układ równań:
[tex]$\left\{\begin{array}{cc}-\frac{4xy}{2-x^{2}}=0 \\2 \ln(2-x^{2})+2y=0\end{array}\right[/tex]
Z drugiego równania:
[tex]$y=-\ln(2-x^{2})[/tex]
Podstawiamy:
[tex]$-\frac{4x \ln(2-x^{2})}{2-x^{2}}=0[/tex]
[tex]4x \ln (2-x^{2})=0[/tex]
[tex]x =0 \vee \ln (2-x^{2})=0[/tex]
[tex]2-x^{2}=1 \iff x^{2}=1 \iff x=-1 \vee x=1[/tex]
Zatem mamy rozwiązania układu:
[tex]$\left\{\begin{array}{cc} x=0\\y=-\ln2 \end{array}\right[/tex]
[tex]$\left\{\begin{array}{cc} x=-1\\y=0 \end{array}\right[/tex]
[tex]$\left\{\begin{array}{cc} x=1\\y=0 \end{array}\right[/tex]
[tex]P_{1}=(0,-\ln2)\\P_{2}=(-1,0)\\P_{3}=(1,0)[/tex]
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
[tex]$\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=-4y \cdot \frac{2-x^{2}+2x^{2}}{(2-x^{2})^{2}} =\frac{-8y-4x^{2}y}{(2-x^{2})^{2}}[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{-4x}{2-x^{2}}[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{-4x}{2-x^{2}}[/tex]
[tex]$\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=2[/tex]
Macierz Hessego:
[tex]$H(x,y)=\left|\begin{array}{ccc}\frac{-8y-4x^{2}y}{(2-x^{2})^{2}}&\frac{-4x}{2-x^{2}}\\\frac{-4x}{2-x^{2}}&2\end{array}\right|[/tex]
Obliczamy wyznaczniki dla punktów stacjonarnych:
[tex]$H(P_{1})=H(0,-\ln2)=\left|\begin{array}{ccc}\ln4&0\\0&2\end{array}\right|=2\ln4[/tex]
[tex]H(P_{2})=H(-1,0)=\left|\begin{array}{ccc}0&4\\4&2\end{array}\right|=-16[/tex]
[tex]H(P_{3})=H(1,0)=\left|\begin{array}{ccc}0&-4\\-4&2\end{array}\right|=-16[/tex]
Zatem funkcja osiąga ekstremum w punkcie [tex]P_{1}[/tex]. Ponadto wnioskujemy (z drugiej pochodnej cząstkowej względem zmiennej [tex]x[/tex] dla tego punktu), że:
Funkcja [tex]f[/tex] osiąga minimum lokalne w punkcie [tex]P_{1}=(0,-\ln2)[/tex] równe [tex]-\ln^{2}2[/tex].
