Odpowiedź:
Liczba 108 jest trzecim, a liczba 32 jest szóstym wyrazem tego ciągu.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z treści zadania wiemy, że:
[tex]a_1 = 243\\a_{n} = 108\\a_{n+3} = 32[/tex]
Obliczamy iloraz ciągu q korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu:
[tex]a_{n} = a+1 \cdot q^{n-1}[/tex]
Podstawiamy nasze dane, tworząc układ równań:
[tex]108 = 243\cdot q^{n-1}\\32 = 243\cdot q^{n+2}\\-------- \ \ obustronnie \ dzielimy\\\\\frac{108}{32} = q^{n-1-(n+2)}\\\\\frac{27}{8} = q^{-3}\\\\q^{3} = \frac{8}{27}\\\\q^{3}} = (\frac{2}{3})^{3}\\\\\underline{q = \frac{2}{3}}[/tex]
Obliczamy, którym wyrazem ciągu jest liczba 108:
[tex]108 = 243\cdot(\frac{2}{3})^{n-1} \ \ /:243\\\\(\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{108}{243}\\\\(\frac{2}3})^{n-1} = \frac{4}{9}\\\\(\frac{2}{3})^{n-1} = (\frac{2}{3})^{2}\\\\n-1 = 2\\\\\underline{n = 3}\\\\\boxed{a_{3} = 108}[/tex]
Kolejno obliczamy, którym wyrazem ciągu jest liczba 32:
[tex]32 = 243\cdot(\frac{2}{3})^{n-1} \ \ /:243\\\\(\frac{2}{3})^{n-1} = \frac{32}{243}\\\\(\frac{2}{3})^{n-1} = (\frac{2}{3})^{5}\\\\n-1 = 5\\\\\underline{n = 6}\\\\\boxed{a_{6} = 32}[/tex]
