Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\cos\alpha=\dfrac{4}{5}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jako, że kąt jest kątem ostrym, to możemy zadanie rozwiązać na dwa sposoby.
SPOSÓB 1:
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]
Podstawiamy
[tex]\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\\\\\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{9}{25}+\cos^2\alpha=1\qquad|-\dfrac{9}{25}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{25}{25}-\dfrac{9}{25}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}\to \cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\\\\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}\ \vee\ \cos\alpha=\dfrac{4}{5}[/tex]
Kąt jest ostry, czyli wszystkie funkcje trygonometryczne przyjmują dla takiego kąta tylko wartości dodatnie. W związku z tym, rozwiązaniem jest:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{4}{5}[/tex]
SPOSÓB 2:
Patrz załącznik.
[tex]\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\to a=3;\ c=5[/tex]
Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:
[tex]a^2+b^2=c^2\\\\3^2+b^2=5^2\\\\9+b^2=25\qquad|-9\\\\b^2=16\to b=\sqrt{16}\\\\b=4[/tex]
Z definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym mamy:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{4}{5}[/tex]
